物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

時系列解析入門

SGCライブラリ - 19

時系列解析入門

線形システムから非線形システムへ

宮野尚哉 著

2002年11月25日 初版発行

確率過程と時系列

確率変数  {X} の分布関数: {F(x) = P(X \le x)}

  •  {F(- \infty) = 0}
  •  {F(\infty) = 1}

確率密度関数: {\displaystyle p(x) = \frac{dF(x)}{dx}}

  •  {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}p(x)dx = 1}
  •  {\displaystyle P(a \le X \le b) = \int_a^bp(x)dx}

定常過程:

 {F[x(t_1),x(t_2),\dots,x(t_N)] = F[x(t_1 + T),x(t_2 + T),\dots,x(t_N + T)]}

線形予測

Wold の分解定理

どのような定常過程  {\{z(t)\}} も、決定論的な定常過程  {\{y(t)\}} と非決定論的な定常過程  {\{x(t)\}} の和で表すことができる:

  •  {z(t) = x(t) + y(t)}
  •  {x(t) = \xi(t) + \sum_{i=1}^{\infty}a_i\xi(t - i)}
  •  {\sum_{i=1}^{\infty}|a_i| \lt \infty}
  •  {x(t) = \sum_{i = 0}^{\infty}c_ix(t - i) + \xi(t)}
  •  {\sum_{i=1}^{\infty}|c_i| \lt \infty}
  •  {\xi(t)}:平均値がゼロで分散が  {1} の白色ノイズ

自己回帰モデル

自己回帰過程(AR 過程)

 {x(t) = c_1x(t - 1) + c_2x(t - 2) + \cdots + c_px(t - p) + \xi(t)}

 {z} 変換

 {X(z) = (c_1z + c_2z^2 + \cdots c_pz^p)X(z) + N(z)}

  •  {z = \exp(-i\tilde{f}\Delta t)}
  •  {\tilde{f} = 2\pi f + is}
  •  {\Delta t = 1}
  •  {X(z)} {x(t)} {z} 変換
  •  {N(z)} {\xi(t)} {z} 変換

 {\displaystyle X(z) = \frac{1}{1 - c_1z - c_2z^2 - \cdots - c_pz^p}N(z) = H(z)N(z)}

  • 伝達関数  {H(z)}
  •  {H(z)} の極がすべて単位円の外側にあるとき、AR 過程は定常過程となる。

移動平均モデル

 {q} 次移動平均過程(MA 過程)

 {x(t) = \xi(t) - a_1\xi(t - 1) - \cdots - a_q\xi(t - q)}

 {z} 変換

 {X(z) = (1 - a_1z - \cdots - a_qz^q)N(z) = A(z)N(z)}

  •  {A(z) = 0} の根が単位円の外側にあるとき、MA 過程は可逆であるという。
  • 可逆な MA 過程は AR 過程と等価である。

自己回帰移動平均モデル

自己回帰移動平均過程(ARMA 過程)

 {\displaystyle x(t) = \sum_{i=1}^pc_ix(t - i) + \xi(t) - \sum_{j=1}^qa_j\xi(t - j)}

 {z} 変換

 {(1 - c_1z - \cdots - c_pz^p)X(z) = (1 - a_1z - \cdots - a_qz^q)N(z)}

  • 伝達関数  {\displaystyle H(z) = \frac{1 - a_1z - \cdots - a_qz^q}{1 - c_1z - \cdots - c_pz^p}}

自己回帰積分移動平均モデル

自己回帰積分移動平均過程(ARIMA 過程)

 {\displaystyle z(t) = \sum_{i=1}^pc_iz(t - i) + \xi(t) - \sum_{j=1}^qa_j\xi(t - j)}

  •  {z(t) = D^r[x(t)]}
  •  {D[x(t)] = x(t) - x(t - 1)}
  •  {D^r[x(t)] = \underbrace{D \cdots D}_r[x(t)]}

カオスと時系列

非線形予測