SGCライブラリ - 1

カオスと量子物理学

パラダイムの交差点に挑む

中村勝弘　著

1997年5月25日　初版発行

カオスの出現と断熱不変量の量子化の破綻

${2}$ 次元振動子の保存系カオスを考える：

$H_0 = \sum_{i=1,2}(p_i^2 + \omega_i^2q_i^2)/2$

力学変数を ${\{p_i,q_i\}}$ から ${\{J_i,\varphi_i\}}$ へ正準変換：

$H_0 = \sum_{i=1,2}\omega_iJ_i \equiv H_i(J_1,J_2)$

全ての軌道は、適当な半径 ${J_1}$ と ${J_2}$ で特徴づけられたトーラスの表面に巻きついた周期的あるいは準周期的軌道となる。

この系に非可積分摂動を与える：

$H = H_0(J_1,J_2) + \varepsilon\sum_{m,n}f_{mn}(J_1,J_2)\cos(m\varphi_1 + n\varphi_2)$

摂動が十分小さい場合
- ${|f_{mn}| \ll |m\omega_1 + m\omega_2|}$
- ${\varepsilon}$ の項を消去する作用変数・角変数が存在する。
- ${H = H_0(J_1^{(\infty)},J_2^{(\infty)})}$
- 元のトーラスは変形し、新しいトーラスができる：KAM トーラス
摂動が大きい場合
- ${|f_{mn}| \gg |m\omega_1 + m\omega_2|}$
- ${\varepsilon}$ の項を消去する作用変数・角変数が得られない。
- トーラスは破裂し、軌道は無限個の破片を再帰性なく巡る：カオス

物理ノート