物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

エコノミックゲームセオリー

SGCライブラリ - 11

エコノミックゲームセオリー

協力ゲームの応用

船木由喜彦 著

2001年10月25日 初版発行

家・車の売買 非分割財市場のコア

譲渡可能効用のあるゲーム: {(N,v)}

ゲームのプレイヤーは提携を形成し、協力関係を結ぶ。

  • プレイヤー集合  {N}
  • 各提携  {S \subseteq N} に対し提携値  {v(S)} を対応させる関数  {v}

ゲームの解は各プレイヤーの得る利得を表す利得ベクトル  {x} で表される。

ゲームの解が満たすべき基本的な条件:

  • 個人合理性:すべての  {i \in N} について  {x_i \ge v(\{i\})}
  • 全体合理性: {\sum_{i \in N}x_i = v(N)}

この2つの条件を満たす利得ベクトルを配分とよび、配分の集合を  {\mathcal{I}(v)} で表す。

コアの定義

提携  {S \subseteq N} に対し以下が成り立つとき、 {y} {S} を通じて  {x} を支配するといい、 {y\,\mathrm{dom}_S x} と書く:

 {y_i \gt x_i\, \forall i \in S} および  {\sum_{i \in S}y_i \le v(S)}

ある提携  {S} が存在して  {y \,\mathrm{dom}_S x} が成り立つとき、配分  {y} {x} を支配するといい、 {y \,\mathrm{dom}\, x} と書く。

コア:いかなる配分にも支配されない配分の集合

 {\mathcal{C}(v) = \{ x \in \mathcal{I}(v) \,|\, y \,\mathrm{dom}\, x} となる  {y \in \mathcal{I}(v)} がない。 {\}}

結託の可能性 安定集合

提携型ゲームの配分の集合:

 {I(v) = \{ x \in \mathcal{R}^N \,|\, x_i \ge v(\{i\})\,\forall i \in N,\,\sum_{i \in N}x_i = v(N) \}}

提携型ゲームのコア:

 {C(v) = \{ x \in I(v) \,|\, y \,\mathrm{dom}\, x} となる  {y \in I(v)} がない。 {\}}

集合  {K} の外部安定性:

すべての  {y \in I(v) \backslash K} に対し、 {x \,\mathrm{dom}\, y} を満たすある  {x \in K} が存在する。

集合  {K} の内部安定性:

すべての  {x,y \in K} について、 {x \,\mathrm{dom}\, y} {y \,\mathrm{dom}\, x} も成り立たない。

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