物理ノート

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量子論の基礎

量子力学

SGCライブラリ - 22

量子論の基礎

その本質のやさしい理解のために

清水明　著

2003年3月25日　初版発行

基本的枠組み

古典論の基本的仮定と枠組み

  • 全ての物理量は、どの瞬間にも各々ひとつずつ定まった値を持っている。
  • 測定とは、その時刻における物理量の値を知ることである。
  • ある時刻における物理状態とは、その時刻における全ての物理量の値の一覧表のことである。
  • 時間発展とは、物理量の値が時々刻々変化することである。

量子論の基本的仮定と枠組み

  • 全ての物理量、即ち可観測量が、各瞬間瞬間に、定まった値を持つことはない。
  • 物理量 {A} の測定とは、観測者が測定値をひとつ得る行為である。
  • 物理状態とは、各 {A} に対してそれを測定した時の測定値の確率分布 {\{P(a)\}} を与えるものであり、物理量とは別のもの {\psi} で表す。
  • 系が時間発展するとは、測定を行った時刻によって異なる {\{P(a)\}} が得られるということである。

閉じた有限自由度系の純粋状態の量子論

要請（１）

量子系の純粋状態は、ある複素ヒルベルト空間 {\mathcal{H}} の規格化された射線で表される。

  • 射線： {\{e^{i\theta}|\psi\rangle \,|\, \theta \in \mathbf{R}\}}
  • 規格化： {||\,|\psi\rangle|| = 1}

要請（２）

物理量、即ち、可観測量は、 {\mathcal{H}} 上の自己共役演算子によって表される。

  • 自己共役演算子： {\hat{A}^{\dagger} = \hat{A}}
  • 自己共役演算子の固有値は、全て実数である。
  • 自己共役演算子の固有ベクトルの全体は、完全系をなす。

要請（３）ボルンの確率規則

状態 {|\psi\rangle} について、物理量 {A} の誤差がない測定を行ったとき、測定値 {a_{\psi}} は {\hat{A}} の固有値のどれかに限られる。

どの固有値になるかは、一般には測定ごとにランダムにばらつき、 {a_{\psi}} が区間 {(a - \Delta, a + \Delta]} に入る確率 {P(a - \Delta, a + \Delta]} は以下で与えられる：

{P(a - \Delta, a + \Delta] = \langle\psi |\hat{\mathcal{P}}(a - \Delta, a + \Delta]|\psi\rangle}

  • 射影演算子： {\hat{\mathcal{P}}(\mathbf{a}) \equiv |\mathbf{a}\rangle\langle\mathbf{a}|}
  • 離散固有値の場合：
    • {\displaystyle \hat{\mathcal{P}}(a - \Delta, a + \Delta] \equiv \sum_{a - \Delta \lt a^{\prime} \le a + \Delta}\hat{\mathcal{P}}(a^{\prime})}
  • 連続固有値の場合：
    • {\displaystyle \hat{\mathcal{P}}(a - \Delta, a + \Delta] \equiv \int_{a - \Delta}^{a + \Delta}da^{\prime}\hat{\mathcal{P}}(a^{\prime})}

要請（４）

閉じた量子系の、時刻 {t} における状態ベクトルを {|\psi(t)\rangle} と書くと、その時間発展は次のシュレーディンガー方程式で記述される：

{\displaystyle i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle}

  • プランク定数： {\hbar}
  • ハミルトニアン： {\hat{H}}

要請（５）射影仮説

測定直前に {|\psi\rangle} なる状態ベクトルを持っていた系に、物理量 {\hat{A}} の理想測定を行い、測定値が {\hat{A}} の離散固有値の中のひとつ {a} であったとする。

その場合、測定直後の状態ベクトル {|\psi_{\mathrm{after}}\rangle} は次式で与えられる：

{\displaystyle |\psi_{\mathrm{after}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{P(a)}}\hat{\mathcal{P}}(a)|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{\sum_{l=1}^{m_a}|\langle a,l|\psi\rangle|^2}}\sum_{l=1}^{m_a}|a,l\rangle\langle a,l|\psi\rangle}

  • {\langle\psi_{\mathrm{after}}|\psi_{\mathrm{after}}\rangle = \langle\psi|\psi\rangle = 1}
  • 時間発展のすべてについて、確率が保存される。
  • 理想測定であれば、１回目の測定の直後に行われた２回目の測定の結果は、必ず１回目と一致する。

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