物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

ガロア理論

SGCライブラリ - 27

ガロア理論

その標準的な入門

中野伸 著

2003年9月25日 初版発行

可換環

可換環  {R} の空でない部分集合  {I} は、以下をみたすとき  {R} のイデアルという:

  • 任意の  {a,b \in I} に対して  {a - b \in I}
  • 任意の  {a \in I} および  {x \in R} に対して  {ax \in I}

イデアルの例: {R} の一つの元  {a} の倍数全体の集合

 {aR = \{ax \,|\, x \in R\}}

準同型定理

 {R,\,S} を可換環、 {\varphi: R \to S} を準同型写像とすると、 {R/\mathrm{Ker}\,\varphi} {\mathrm{Im}\,\varphi} は同型となる: {R/\mathrm{Ker}\,\varphi \cong \mathrm{Im}\,\varphi}

  •  {a_1,\dots,a_n} で生成されるイデアル: {(a_1,\dots,a_n)}
  • 単項イデアル: {(a)}

整域  {R} に対して、写像  {C_R: \mathbf{Z} \to R} を以下で定める:

  •  {C_R(0) = 0}
  •  {C_R(n) = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n}\quad (n \gt 0)}
  •  {C_R(n) = -C_R(-n)\quad (n \lt 0)}

 {\mathrm{Ker}\,C_R = p\mathbf{Z}} {p \ge 0})なる  {p \in \mathbf{Z}} を整域  {R} の標数といい  {\mathrm{ch}.\,R} で表す。

代数拡大

共役写像

ガロア対応

可解性