SGCライブラリ - 30

応用のための関数解析

その考え方と技法

吉田善章　著

2004年1月25日　初版発行

空間と位相

線形空間 ${X}$ に内積 ${(\cdot,\cdot)}$ が定義されているとする。

${X}$ が ${||x|| = \sqrt{(x,x)}}$ をノルムとするノルム空間であるとき、 ${X}$ を pre-Hilbert 空間という。
${X}$ が完備な pre-Hilbert空間であるとき、 ${X}$ を Hilbert 空間という。
Hilbert 空間とは、ノルムが内積によって誘導された Banach 空間である。

${X}$ は内積 ${(\cdot,\cdot)}$ が定義された pre-Hilbert 空間であるとする。

${X}$ の２つの元 ${x,\,y}$ は、 ${(x,y) = 0}$ であるとき直交するという： ${x \perp y}$
${X}$ の２つの部分集合 ${A,\,B}$ は ${(x,y) = 0}$ （ ${\forall x \in A,\,\forall y \in B}$ ）であるとき直交するという： ${A \perp B}$
${X}$ の部分集合 ${A}$ に対して、 ${A}$ の全ての元と直交する ${x \in X}$ の全体集合を ${A}$ の直交補空間という： ${A^{\perp} = \{x;\,(x,y) = 0,\,\forall y \in A\}}$

射影定理

${X}$ を Hilbert 空間、 ${A}$ をその閉部分空間とする。

任意の ${x \in X}$ は一意的に以下のように分解される：

${x = x_{\parallel} + x_{\perp}\quad (x_{\parallel} \in A,\,x_{\perp} \in A^{\perp})}$

${x_{\parallel}}$ を ${x}$ の ${A}$ への射影という。

Hilbert 空間 ${X}$ の閉部分空間 ${A}$ による直交分解： ${X = A \oplus A^{\perp}}$

完全正規直交系

Hilbert 空間 ${X}$ の可算部分集合 ${\{\varphi_j\}}$ が正規直交系であるとは、 ${(\varphi_j,\varphi_k) = \delta_{j,k}}$ をみたすことをいう。

正規直交系 ${\{\varphi_j\}}$ によって張られる閉部分空間 ${M}$ ：

$M = \overline{\left\{x \in X;\, x = \sum_ja^j\varphi_j,\,a^j \in \mathbb{K}\right\}}$

${M = X}$ であるとき、 ${\{\varphi_j\}}$ を完全正規直交系という。

可分な Hilbert 空間 ${X}$ は、たかだか可算個の元からなる完全正規直交系 ${\{\varphi_j\}}$ をもつ：

$x = \sum_j(x,\varphi_j)\varphi_j\quad (\forall x \in X)$
$||x||^2 = \sum_j|(x,\varphi_j)|^2\quad (\forall x \in X)$
$(x,y) = \sum_j(x,\varphi_j)\overline{(y,\varphi_j)}\quad (\forall x,y \in X)$

作用素

Banach 空間 ${X}$ における線形作用素 ${\mathcal{A}}$ を考える。

作用素 ${(\lambda I - \mathcal{A})^{-1}}$ （ ${\lambda \in \mathbb{C}}$ ）を ${\mathcal{A}}$ に対するレゾルベント作用素と呼ぶ：

${(\lambda I - \mathcal{A})^{-1}}$ が存在して連続、かつその定義域が稠密となるような複素数 ${\lambda}$ の集合を ${\mathcal{A}}$ のレゾルベントと呼び、 ${\rho(\mathcal{A})}$ と表す。
${\sigma(\mathcal{A}) = \mathbb{C}\backslash\rho(\mathcal{A})}$ を ${\mathcal{A}}$ のスペクトルと呼ぶ。

固有値問題は作用素 ${(\lambda I - \mathcal{A})^{-1}}$ の特異点を探す問題にほかならない。

スペクトル ${\sigma(\mathcal{A})}$ は次の ${3}$ 種に分類される：

点スペクトル：
- ${(\lambda I - \mathcal{A})^{-1}}$ が存在しないような ${\lambda}$ の集合
連続スペクトル：
- ${(\lambda I - \mathcal{A})^{-1}}$ が存在し、その定義域が稠密であるが、不連続となるような ${\lambda}$ の集合
剰余スペクトル：
- ${(\lambda I - \mathcal{A})^{-1}}$ が存在するが、その定義域が稠密でないような ${\lambda}$ の集合

Dunford 積分

${\mathcal{A}}$ を Hilbert 空間 ${X}$ における有界線形作用素とする。

${F(\lambda)}$ を ${\sigma(\mathcal{A})}$ のある近傍 ${U}$ で正則な関数とし、 ${\sigma(\mathcal{A}) \subset U_0 \subset U}$ を満たす ${U_0}$ に対して Dunford 積分を定義する：

$F(\mathcal{A}) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial U_0}F(\lambda)(\lambda I - \mathcal{A})^{-1}d\lambda$

ただし、 ${\partial U_0}$ は有限個の向きづけられた Jordan 曲線からなるとする。

このとき ${F(\mathcal{A})}$ は ${X}$ 内の有界線形作用素となる。