ゲージ場の量子論入門
SGCライブラリ - 45
ゲージ場の量子論入門
質量ギャップとクォーク閉じ込めの解決に向けて
近藤慶一 著
2006年1月25日 初版発行
古典 Yang-Mills 理論
ゲージ場 は、Lie 群 の Lie 代数 の元で、生成子 の線形結合で与えられる 行列:
ゲージ場の強さ
Yang–Mills 場のラグランジアン密度
Bianchi 恒等式:
Bianchi 恒等式の幾何学的意味
多様体 において点 から へ至るなめらかな経路を とする。
- 接続 を持つベクトル束
- ある点 でのベクトル
- を経路 に沿って まで動かした結果を とあらわす。
- 経路 に沿うホロノミー
が – 面内の一辺 の微小正方形のループの場合:
–– 空間内の立方体を考え、その1つの頂点を とし、その反対の点を とする。
から に至る3通りの経路 :
3つのループを合成:
両者を等しいとおくと、Bianchi 恒等式が成立する。
量子化の方法
Schödinger 表示の演算子 の固有状態:
Heisenberg 表示の演算子 の固有状態:
固有状態間の関係:
演算子間の関係:
ある時刻 での場の固有状態 から時刻 での別の固有状態 への遷移振幅:
積分を実行すれば、スカラー場の理論における Feynman 公式が得られる。
Yang-Mills 場の解析力学と量子化
Lorentz 型ゲージにおける2点 Green 関数:
- クォーク:
- グルーオン:
- ゴースト:
相互作用がない場合:
摂動論における伝播関数: