物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

ゲージ場の量子論入門

SGCライブラリ - 45

ゲージ場の量子論入門

質量ギャップとクォーク閉じ込めの解決に向けて

近藤慶一 著

2006年1月25日 初版発行

古典 Yang-Mills 理論

ゲージ場  {\mathcal{A}_{\mu}(x)} は、Lie 群  {G} の Lie 代数  {\mathcal{G}} の元で、生成子  {T^A} の線形結合で与えられる  {N \times N} 行列:

 {\displaystyle \mathcal{A}_{\mu}(x) = \sum_{A=1}^{\dim G}\mathcal{A}_{\mu}^A(x)T^A = (\mathcal{A}_{\mu a}{}^b)(x)}

ゲージ場の強さ  {\mathcal{F}_{\mu\nu}}

 {\displaystyle \mathcal{F}_{\mu\nu}(x) \equiv \frac{i}{g}[\mathcal{D}_{\mu},\mathcal{D}_{\nu}] = \partial_{\mu}\mathcal{A}_{\nu}(x) - \partial_{\nu}\mathcal{A}_{\mu}(x) - ig[\mathcal{A}_{\mu}(x),\mathcal{A}_{\nu}(x)] = \mathcal{F}_{\mu\nu}^A(x)T^A}

Yang–Mills 場のラグランジアン密度

 {\displaystyle \mathcal{L}_{\mathrm{YM}} = -\frac{1}{2}\mathrm{Tr}\,(\mathcal{F}_{\mu\nu}(x)\mathcal{F}^{\mu\nu}(x)) = -\frac{1}{4}\mathcal{F}_{\mu\nu}^A(x)\mathcal{F}^{\mu\nu A}(x)}

Bianchi 恒等式:

 {\mathcal{D}_{\alpha}\mathcal{F}_{\beta\gamma} + \mathcal{D}_{\beta}\mathcal{F}_{\gamma\alpha} + \mathcal{D}_{\gamma}\mathcal{F}_{\alpha\beta} = 0}

  •  {\mathcal{D}_{\mu} = \partial_{\mu} - ig[\mathcal{A}_{\mu}\,\cdot]}

Bianchi 恒等式の幾何学的意味

多様体  {M} において点  {p} から  {q} へ至るなめらかな経路を  {\gamma: [0,T] \to M} とする。

  • 接続  {\mathcal{D}} を持つベクトル束  {E}
  • ある点  {p} でのベクトル  {u \in E_p}
  •  {u} を経路  {\gamma} に沿って  {q} まで動かした結果を  {H(\gamma,\mathcal{D})u} とあらわす。
  • 経路  {\gamma} に沿うホロノミー  {H(\gamma,\mathcal{D}): E_p \to E_q}

 {\gamma} {x^{\mu}} {x^{\nu}} 面内の一辺  {\epsilon} の微小正方形のループの場合:

  •  {H(\gamma,\mathcal{D}) = \mathbf{1} - \epsilon^2\mathcal{F}_{\mu\nu} + \mathcal{O}(\epsilon^3)}

 {x^{\mu}} {x^{\nu}} {x^{\lambda}} 空間内の立方体を考え、その1つの頂点を  {p} とし、その反対の点を  {q} とする。

 {p} から  {q} に至る3通りの経路  {\gamma_i}

  •  {H(\gamma_2^{-1}\gamma_1,\mathcal{D}) = \mathbf{1} - \epsilon^2(\mathcal{F}_{\mu\nu} - \mathcal{F}_{\lambda\mu}) + \epsilon^3\mathcal{D}_{\nu}\mathcal{F}_{\lambda\mu} + \mathcal{O}(\epsilon^4)}
  •  {H(\gamma_3^{-1}\gamma_2,\mathcal{D}) = \mathbf{1} - \epsilon^2(\mathcal{F}_{\nu\lambda} - \mathcal{F}_{\mu\nu}) + \epsilon^3\mathcal{D}_{\lambda}\mathcal{F}_{\mu\nu} + \mathcal{O}(\epsilon^4)}
  •  {H(\gamma_1^{-1}\gamma_3,\mathcal{D}) = \mathbf{1} - \epsilon^2(\mathcal{F}_{\lambda\mu} - \mathcal{F}_{\nu\lambda}) + \epsilon^3\mathcal{D}_{\lambda}\mathcal{F}_{\nu\lambda} + \mathcal{O}(\epsilon^4)}

3つのループを合成:

  •  {H(\gamma_1^{-1}\gamma_3\gamma_3^{-1}\gamma_2\gamma_2^{-1}\gamma_1,\mathcal{D}) = H(\mathbf{1}_p,\mathcal{D}) = \mathbf{1}}
  •  {H(\gamma_1^{-1}\gamma_3,\mathcal{D})H(\gamma_3^{-1}\gamma_2,\mathcal{D})H(\gamma_2^{-1}\gamma_1,\mathcal{D}) = \mathbf{1} + \epsilon^3(\mathcal{D}_{\mu}\mathcal{F}_{\nu\lambda} + \mathcal{D}_{\nu}\mathcal{F}_{\lambda\mu} + \mathcal{D}_{\lambda}\mathcal{F}_{\mu\nu}) + \mathcal{O}(\epsilon^4)}

両者を等しいとおくと、Bianchi 恒等式が成立する。

量子化の方法

Schödinger 表示の演算子  {\hat{\phi}(\mathbf{x}),\,\hat{\pi}(\mathbf{x})} の固有状態:

  •  {\hat{\phi}(\mathbf{x})|\phi\rangle = \phi(\mathbf{x})|\phi\rangle}
  •  {\hat{\pi}(\mathbf{x})|\pi\rangle = \pi(\mathbf{x})|\pi\rangle}

Heisenberg 表示の演算子  {\hat{\phi}(t,\mathbf{x}),\,\hat{\pi}(t,\mathbf{x})} の固有状態:

  •  {\hat{\phi}(t,\mathbf{x})|\phi,t\rangle = \phi(\mathbf{x})|\phi,t\rangle}
  •  {\hat{\pi}(t,\mathbf{x})|\pi,t\rangle = \pi(\mathbf{x})|\pi,t\rangle}

固有状態間の関係:

  •  {|\phi,t\rangle = e^{i\hat{H}t}|\phi\rangle}
  •  {|\pi,t\rangle = e^{i\hat{H}t}|\pi\rangle}

演算子間の関係:

  •  {\hat{\phi}(t,\mathbf{x}) = e^{i\hat{H}t}\hat{\phi}(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}t}}
  •  {\hat{\pi}(t,\mathbf{x}) = e^{i\hat{H}t}\hat{\pi}(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}t}}

ある時刻  {t_I} での場の固有状態  {\phi_I(\mathbf{x})} から時刻  {t_F} での別の固有状態  {\phi_F(\mathbf{x})} への遷移振幅:

 {\displaystyle \langle\phi_F,t_F|\phi_I,t_I\rangle = N\int_{\phi(t_I,\mathbf{x}) = \phi_I(\mathbf{x})}^{\phi(t_F,\mathbf{x}) = \phi_F(\mathbf{x})}\mathcal{D}\phi\mathcal{D}\pi\,\exp\left\{i\int_{t_I}^{t_F}d^Dx\left[\pi(x)\dot{\phi}(x) - \mathcal{H}(\pi(x),\phi(x))\right]\right\}}

 {\mathcal{D}\pi} 積分を実行すれば、スカラー場の理論における Feynman 公式が得られる。

 {\displaystyle \langle\phi_F,t_F|\phi_I,t_I\rangle = N\int\mathcal{D}\phi\,\exp\left\{i\int_{t_I}^{t_F}d^Dx\,\mathcal{L}(\phi)\right\}}

  •  {\displaystyle \mathcal{D}\phi \propto \prod_{t_I \le t \le t_F}\prod_{\mathbf{x} \in \mathbf{R}^d}d\phi(t,\mathbf{x})}

Yang-Mills 場の解析力学と量子化

Lorentz 型ゲージにおける2点 Green 関数:

  • クォーク: {\displaystyle \mathrm{F.T.}\langle 0|T\psi(x)\bar{\psi}(y)|0\rangle = \frac{1}{i}\frac{1}{-A(p^2)\gamma_{\mu}p^{\mu} + B(p^2)}}
  • グルーオン: {\displaystyle \mathrm{F.T.}\langle 0|T\mathcal{A}_{\mu}^A(x)\mathcal{A}_{\nu}^B(y)|0\rangle = \frac{1}{i}\delta^{AB}\left[\left(g_{\mu\nu} - \frac{p_{\mu}p_{\nu}}{p^2}\right)\frac{F(p^2)}{p^2} + \alpha\frac{p_{\mu}p_{\nu}}{p^4}\right]}
  • ゴースト: {\displaystyle \mathrm{F.T.}\langle 0|TC^A(x)\bar{C}^B(y)|0\rangle = \frac{1}{i}\delta^{AB}\left[-i\frac{G(p^2)}{p^2}\right]}

相互作用がない場合:

  •  {F(p^2) \equiv 1}
  •  {G(p^2) \equiv 1}
  •  {A(p^2) \equiv 1}
  •  {B(p^2) \equiv m_0}

摂動論における伝播関数:

  •  {\displaystyle S(p) = \frac{1}{i}\frac{1}{- \gamma_{\mu}p^{\mu} + m_0}}
  •  {\displaystyle D_{\mu\nu}^{AB}(p) = \frac{1}{i}\delta^{AB}\left[\left(g_{\mu\nu} - \frac{p_{\mu}p_{\nu}}{p^2}\right)\frac{1}{p^2} + \alpha\frac{p_{\mu}p_{\nu}}{p^4}\right]}
  •  {\displaystyle \Delta^{AB}(p) = \frac{1}{i}\delta^{AB}\left[-i\frac{1}{p^2}\right]}

BRST 対称性と FP ゴースト電荷

対称性の自発的破れと量子的破れ

カラー対称性とカラーの閉じ込め

ゲージ粒子の質量と質量ギャップ

クォークの閉じ込めと双対超伝導描像

ミレニアム賞問題