物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

現代物理のための解析力学

SGCライブラリ - 46

現代物理のための解析力学

早田次郎 著

2006年3月25日 初版発行

ラグランジュ形式

ハミルトンの原理

 {\displaystyle \delta S[q^i] = \delta\int_{t = t_1}^{t = t_2}dt\,L(q^i,\dot{q}^i,t) = 0}

  •  {\displaystyle L(q^i + \delta q^i,\dot{q}^i + \delta\dot{q}^i,t) \approx L(q^i,\dot{q}^i,t) + \delta q^i\frac{\partial L}{\partial q^i} + \delta\dot{q}^i\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}}
  •  {\displaystyle \delta\dot{q}^i = \frac{d}{dt}\delta q^i}

 {\displaystyle \delta S = \left.\left[\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\delta q^i\right]\right|_{t_1}^{t_2} + \int_{t = t_1}^{t = t_2}dt\left[\frac{\partial L}{\partial q^i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right]\delta q^i}

 {\delta q^i} は端点以外では任意の変分だから、 {\delta S} がゼロになるためには被積分関数の部分がゼロでなければならない。

ラグランジュ方程式

 {\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L(q^k,\dot{q}^k,t)}{\partial\dot{q}^k} - \frac{\partial L(q^k,\dot{q}^k,t)}{\partial q^k} = 0}

 {\displaystyle -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\dot{q}^i - L\right) - \dot{q}^i\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q^i}\right]}

より、系が時間並進対称性を持つならば、エネルギーは保存する:

 {\displaystyle H_L(q^i,\dot{q}^i) = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\dot{q}^i - L(q^i,\dot{q}^i)}

微分形式

 {1} 形式とベクトルの基底の内積:

 {\displaystyle \langle dx^i|\frac{\partial}{\partial x^j}\rangle = \delta^i_j}

  •  {1} 形式はベクトルからスカラーへの写像。

テンソル積:

 {\displaystyle \langle dx^i \otimes dx^j|\frac{\partial}{\partial x^k},\frac{\partial}{\partial x^m}\rangle \equiv \langle dx^i|\frac{\partial}{\partial x^k}\rangle\langle dx^j|\frac{\partial}{\partial x^m}\rangle}

  •  {dx^i \otimes dx^j} は2個のベクトルにスカラーを対応させる写像。

ウェッジ積:

 {dx^i \wedge dx^j \equiv dx^i \otimes dx^j - dx^j \otimes dx^i}

 {2} 形式とベクトルの内部積:

 {\displaystyle \langle dx^i \wedge dx^j|\frac{\partial}{\partial x^k},\bullet\rangle = \langle dx^i|\frac{\partial}{\partial x^k}\rangle dx^j - \langle dx^j|\frac{\partial}{\partial x^k}\rangle dx^i = \delta^i_kdx^j - \delta^j_kdx^i}

 {p} 形式:

 {\displaystyle \mathbf{A} = \frac{1}{p!}A_{1\cdots p}dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^p}

 {p} 形式の外微分:

 {\displaystyle d\mathbf{A} = \frac{1}{p!}dA_{1\cdots p} \wedge dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^p}

  •  {d^2 = 0}
  • 任意の  {p} 形式  {\mathbf{A}} に対して  {d\mathbf{A} = 0} が成立するならば、 {\mathbf{A} = d\mathbf{B}} となる  {p - 1} 形式  {\mathbf{B}} が少なくとも局所的には存在する。

ホッジ双対写像:

 {\displaystyle \ast dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p} = \frac{1}{(n - p)!}\epsilon_{i_1\cdots i_pi_{p+1}\cdots i_n}dx^{i_{p+1}} \wedge dx^{i_n}}

  •  {\epsilon_{i_1\cdots i_pi_{p+1}\cdots i_n}}:完全反対象な  {n} 次元のレビ・チビタ記号

ラグランジュ方程式の幾何学的定式化

保存系  {\partial L/\partial t = 0} を考える。

配位空間での点変換  {Q^i = Q^i(q^k,t)} に対して、一般化運動量  {p_i = \partial L/\partial\dot{q}^i} {P_i = p_k\partial q^k/\partial Q^i} のように変換する。

  •  {1} 形式: {\displaystyle \theta_L = p_idq^i = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}dq^i}
  •  {2} 形式: {\displaystyle d\theta_L = d\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right) \wedge dq^i}

配位空間  {q^i} を速度を含む物理状態の空間  {(q^i,\dot{q}^i)} に拡張する。

  • 配位空間  {q^i} での速度場: {\displaystyle \mathbf{v}_L = \frac{dq^i}{dt}\frac{\partial}{\partial q^i} + \frac{d\dot{q}^i}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q}^i}}

$$ \begin{align} \langle d\theta_L|\mathbf{v}_L,\bullet\rangle &= \langle d\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right)|\mathbf{v}_L\rangle dq^i - \langle dq^i|\mathbf{v}_L\rangle d\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right) \\ &= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right)dq^i - \dot{q}^id\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right) \\ &= \left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q^i}\right]dq^i - dH_L(q^i,\dot{q}^i) \end{align} $$

ラグランジュ方程式が成立する場合は第1項はゼロなので、ラグランジュ方程式の明白に幾何学的な表現が得られる。

ラグランジュ方程式

 {\langle d\theta_L|\mathbf{v}_L,\bullet\rangle = -dH_L}

ハミルトン形式

位相空間上のハミルトンの原理:

 {\displaystyle \delta\int_{t_1}^{t_2}dt[p_i\dot{q}^i - H(q^i,p_i,t)] = 0}

ハミルトン方程式

  •  {\displaystyle \dot{q}^i = \frac{\partial H}{\partial p_i}}
  •  {\displaystyle \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q^i}}

正準変換

位相空間の変数変換:

  •  {Q^i = Q^i(q^i,p_i,t)}
  •  {P_i = P_i(q^i,p_i,t)}

変換されたハミルトニアン  {K(Q^i,P_i,t)} に関してハミルトン方程式

  •  {\displaystyle \dot{Q}^i = \frac{\partial K}{\partial P_i}}
  •  {\displaystyle \dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q^i}}

が成立するならば、この変数変換を正準変換と呼ぶ。

 {p_idq^i - H(q^i,p_i,t)dt = P_idQ^i - K(Q^i,P_i,t)dt + dW}

両辺の外微分をとると、 {dp_i \wedge dq^i = dP_i \wedge dQ^i} が得られる。

正準  {2} 形式(シンプレクティック形式)

 {\Omega = dp_i \wedge dq^i}

  •  {d\Omega = 0}
  • シンプレクティック形式が定義された多様体をシンプレクティック多様体という。
  • 正準  {1} 形式: {\theta = p_idq^i}
  •  {\Omega = d\theta}

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