現代物理のための解析力学
SGCライブラリ - 46
現代物理のための解析力学
早田次郎 著
2006年3月25日 初版発行
ラグランジュ形式
ハミルトンの原理
は端点以外では任意の変分だから、 がゼロになるためには被積分関数の部分がゼロでなければならない。
ラグランジュ方程式
より、系が時間並進対称性を持つならば、エネルギーは保存する:
微分形式
形式とベクトルの基底の内積:
- 形式はベクトルからスカラーへの写像。
テンソル積:
- は2個のベクトルにスカラーを対応させる写像。
ウェッジ積:
形式とベクトルの内部積:
形式:
形式の外微分:
- 任意の 形式 に対して が成立するならば、 となる 形式 が少なくとも局所的には存在する。
ホッジ双対写像:
- :完全反対象な 次元のレビ・チビタ記号
ラグランジュ方程式の幾何学的定式化
保存系 を考える。
配位空間での点変換 に対して、一般化運動量 は のように変換する。
- 形式:
- 形式:
配位空間 を速度を含む物理状態の空間 に拡張する。
- 配位空間 での速度場:
$$ \begin{align} \langle d\theta_L|\mathbf{v}_L,\bullet\rangle &= \langle d\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right)|\mathbf{v}_L\rangle dq^i - \langle dq^i|\mathbf{v}_L\rangle d\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right) \\ &= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right)dq^i - \dot{q}^id\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right) \\ &= \left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q^i}\right]dq^i - dH_L(q^i,\dot{q}^i) \end{align} $$
ラグランジュ方程式が成立する場合は第1項はゼロなので、ラグランジュ方程式の明白に幾何学的な表現が得られる。
ラグランジュ方程式
ハミルトン形式
位相空間上のハミルトンの原理:
ハミルトン方程式
正準変換
位相空間の変数変換:
変換されたハミルトニアン に関してハミルトン方程式
が成立するならば、この変数変換を正準変換と呼ぶ。
両辺の外微分をとると、 が得られる。
正準 形式(シンプレクティック形式)
- シンプレクティック形式が定義された多様体をシンプレクティック多様体という。
- 正準 形式: