SGCライブラリ - 49

ソリトンと物理学

戸田盛和　著

2006年7月25日　初版発行

ソリトンの発見

浅水波の時間変化を記述する方程式：KdV 方程式

$\frac{\partial\eta}{\partial t} + \frac{3}{2}\frac{c_0}{h}\eta\frac{\partial\eta}{\partial\xi} + \frac{c_0h^2}{6}\frac{\partial^3\eta}{\partial\xi^3} = 0$

波による水の高まり ${\eta}$
水深 ${h}$ の波の速さ ${c_0 = \sqrt{gh}}$
速度 ${c_0}$ で波の方向に進む座標 ${\xi = x - c_0t}$

孤立波解

$\eta = H\mathrm{sech}^2\sqrt{\frac{3H}{4h^3}}\left(\xi - \frac{c_0H}{2h}t\right)$

孤立波の波高 ${H}$
座標系 ${\xi}$ に対する孤立波の速度 ${c_0H/2h}$
静止した運河の水に対する孤立波の速度 $c = c_0 + c_0\frac{H}{2h} \simeq \sqrt{g(h + H)}$

ソリトンの固有値

${N}$ 個のソリトンのみからなる解を ${N}$ ソリトン解という。

Kdv 方程式を

$\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0$

としたときの ${N}$ ソリトン解

$u = 2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\log\det B_N$

$B_N = \left(\delta_{ij} + \frac{c_ic_j}{\kappa_i + \kappa_j}e^{\eta_i + \eta_j}\right)$

${\eta_i = \kappa_ix - 4\kappa_i^3t}$
${i}$ 番目のソリトンの強さ ${\kappa_i}$ （ ${i = 1,2,\dots,N}$ ）
ソリトンの位置に関係したパラメータ ${c_i}$

ソリトンの固有値

KdV 方程式

$\frac{\partial u}{\partial t} - 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0$

に付随する固有値方程式として、以下を考える。

$\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + u\right)\psi = \lambda\psi$

境界条件は ${x \to \pm\infty}$ で ${\psi(x) \to 0}$ とする。

${u(x,t)}$ が KdV 方程式にしたがって時間的空間的に変化するとき、 ${t}$ をパラメータとする固有値方程式の固有値 ${\lambda}$ はすべて一定に保たれる。

格子振動グループの発足

質量 ${m_1,m_2,\dots,m_N}$ の ${N}$ 個の粒子がバネによって結ばれた ${1}$ 次元体系を考え、 ${j-1}$ 番目と ${j}$ 番目の粒子の間のバネの力の定数を ${K_j}$ とする。

左端（ ${j = 0}$ ）の粒子は固定されていて、右端（ ${j = N}$ ）の粒子は自由であるとする。

$H = \sum_{j=1}^N\frac{1}{2m_j}p_j^2 + \sum_j\frac{K_j}{2}(x_j - x_{j-1})^2$

全運動エネルギー

$T = \frac{m_1}{2}\dot{r_1}^2 + \cdots + \frac{m_j}{2}(\dot{r}_1 + \dot{r}_2 + \cdots + \dot{r}_j)^2 + \cdots + \frac{m_N}{2}(\dot{r}_1 + \dot{r}_2 + \cdots + \dot{r}_N)^2$