理工系のためのトポロジー・圏論・微分幾何
SGCライブラリ - 52
理工系のためのトポロジー・圏論・微分幾何
双対性の視点から
谷村省吾 著
2006年12月25日 初版発行
外延と内包の双対性
内包的に規定された集合
- 集合 の元
- 写像
別の集合 と単射 を見つけて開集合 を外延化:
この作業が方程式 を解くことに他ならない。
双対性
実数体 上のベクトル空間 :
- ベクトル の和:
- 実数 によるスカラー倍:
- は有限次元とする。
上の一形式
上の一形式全体の集合 を の双対空間と呼ぶ。
線形
双対空間の双対空間:
線形
写像 は線形同形写像であり、 と書いてよい。
双対性の一般論:
- 対象
- 標準的な系
- を外から眺めて評価する者
- (条件つき)
- を外から眺めて評価する者
- (条件つき)
は に対する測定器として機能する。
自他の相互規定の反射 が双対性である。
位相空間
位相空間とは、集合 に次の条件を満たすような部分集合の族 を備えたものである:
- ならば
- 添え字集合 の各元 について ならば
の部分集合のことを開集合といい、 を開集合族という。
部分集合 に対して補集合 が開集合であるとき、 を閉集合という。
2つの位相空間 があるとき、写像 が連続写像であるとは、任意の に対して が成立していることである。
連続写像 が全単射で、その逆写像 も連続写像ならば、 は から への同相写像であるという。
と の間に同相写像が存在するとき、 と は同相であるといい、 と書く。
位相空間 に対して、 が位相不変量であるとは、以下が成り立つことをいう:
十分多くの種類の位相不変量 があって、
という関係が成り立てば、 は完全な不変量であるという。
- 位相空間 の部分集合 に対して、 の閉包 とは、 を満たす閉集合であり、もしこの他に となる閉集合 があったとしたら が成立するものである。
- 位相空間 の部分集合 に対して、 の開核 とは、 を満たす開集合であり、もしこの他に となる開集合 があったとしたら が成立するものである。
- 位相空間 の部分集合 の(位相的)境界 を、閉包と開核の差で定義する:
位相空間 の次元 を以下のように帰納的に定義する。(ブラウアー・ウリゾーン・メンガーの次元)
- 位相空間 の任意の点 の任意の近傍 に対して、 となる の近傍 で となるものが存在するとき、 と定める。
- であり、 ではない場合、 と定める。
- いかなる自然数 に対しても とならない場合、 と定める。
図形 に変換 を施すと図形 になり、図形 に対して という量が測られるとき、
という関係が成り立つことを、 は変換 についての不変量であるという。
連結成分の個数や次元は最も素朴な位相不変量である。