SGCライブラリ - 55

超幾何関数入門

特殊関数への統一的視点からのアプローチ

木村弘信　著

2007年5月25日　初版発行

初等関数

複素数 ${z}$ に対して

$e^z := 1 + \frac{1}{1!}z + \frac{1}{2!}z^2 + \cdots + \frac{1}{n!}z^n + \cdots$

は、任意の複素数 ${z}$ に対して収束し、複素平面 ${\mathbb{C}}$ における正則関数を表す。（指数関数）

関数 ${w(z) = u(z) + iv(z)}$ を

${e^w = e^u(\cos v + i\sin v) = z}$

を満たすものとして定義する。

${e^u = |z|}$
$\cos v + i\sin v = \frac{z}{|z|}$

このとき、 ${u}$ は ${u = \log|z|}$ により一通りに定まる。（対数関数）

${\mathrm{Log}\,z = \log|z| + i\mathrm{Arg}\,z}$

${\mathrm{Log}\,z}$ ：主値
${\mathrm{Arg}\,z}$ ：偏角

対数関数 ${\mathrm{Log}\,z}$ は

$\mathrm{Log}\,z = \int_{C_z}\frac{1}{u}du$

で与えられる。

ここで ${C_z}$ は ${1}$ を始点とし、 ${z}$ を終点とする ${\mathbb{C}\backslash(-\infty,0]}$ 内の路で、積分値は ${C_z}$ の定める ${1}$ を ${z}$ に結ぶ路のホモトピー類にのみよる。

${a \in \mathbb{C}}$ を指数とするベキ関数は以下で与えられる：

${z^a = e^{a\log z}}$

ベータ関数、ガンマ関数、ガウス積分

ベータ積分： $B(a,b) := \int_0^1u^{a-1}(1 - u)^{b-1}du$

ベータ積分は領域 ${\{(a,b) \in \mathbb{C}^2\,|\,\mathrm{Re}\,(a) \gt 0,\,\mathrm{Re}\,(b) \gt 0\}}$ で広義一様に収束し、そこで ${(a,b)}$ についての正則関数を与える。

これをベータ関数という。

ガンマ積分： $\Gamma(a) = \int_0^{\infty}e^{-u}u^{a-1}du$

ガンマ積分は ${\mathrm{Re\,(a) \gt 0}}$ で広義一様収束し、そこで正則関数を表す。

これをガンマ関数という。

ガンマ関数 ${\Gamma(a)}$ は自然数 ${\mathbb{N}}$ で定義された関数である階乗 ${n \mapsto n!}$ を複素平面の ${\mathrm{Re}\,(a) \gt 0}$ という領域に正則関数として延長したものと思うことができる。

${\mathrm{Re}\,(a) \gt 0}$ のとき、以下が成り立つ。

${\Gamma(a + 1) = a\Gamma(a),\quad \Gamma(1) = 1}$

特に、自然数 ${n}$ に対して

${\Gamma(n + 1) = n!}$

である。

ベータ関数とガンマ関数の間には、次の関係が成り立つ。

両辺が共に正則な範囲で次が成り立つ：

$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a + b)}$

次の公式は反転公式とも呼ばれる。

ガンマ関数について、次の２次関係式が成り立つ。

$\Gamma(a)\Gamma(1 - a) = \frac{\pi}{\sin\pi a}$

ガンマ関数についての２次関係式を用いると、ベータ関数についても同様な関係式を得ることができる。

ベータ関数について、次の２次関係式が成り立つ。

$B(a,b)B(-a,-b) = \pi\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)\frac{\sin\pi(a + b)}{\sin\pi a \cdot \sin\pi b}$

ガウスの超幾何関数とその一族

ガウスの超幾何関数とその合流型関数はすべて、複素数 ${x}$ を独立変数とし、 ${y}$ を未知関数とする２階線形微分方程式

${y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0\tag{A}\label{A}}$

の解として特徴づけられる。

方程式 \eqref{A} において、 ${p(x),\,q(x)}$ は ${|x - a| \lt R}$ で正則とする。

このとき、任意に与えられた ${b_1,b_2 \in \mathbb{C}}$ に対して、初期条件

${y(a) = b_1,\quad y^{\prime}(a) = b_2}$

を満たす正則解 ${y(x)}$ が ${|x - a| \lt R}$ で唯一つ存在する。

\eqref{A} の解全体は ${\mathbb{C}}$ 上の２次元ベクトル空間をなす。

方程式 \eqref{A} の解空間の基底 ${y_1(x),\,y_2(x)}$ を成分とするベクトル ${Y(x) = (y_1(x),y_2(x))}$ を、方程式 \eqref{A} の基本解、あるいは解の基本系という。

方程式 \eqref{A} が ${a}$ に特異点を持つ場合を考える。

${p(x)}$ と ${q(x)}$ は ${D = \{0 \lt |x - a| \lt R\}}$ で正則で、いずれかが ${x = a}$ に極を持つとする。
${x_0 \in D}$ をとり、 ${x_0}$ を始点として ${a}$ を正の向きに１回まわり再び ${x_0}$ に戻る路を ${\gamma}$ とする。
${Y(x) = (y_1(x),y_2(x))}$ を ${x_0}$ における解の基本系とする。
${\gamma}$ に沿って解析接続して得られる解を ${Y^{\gamma}(x) = (y_1^{\gamma}(x),y_2^{\gamma}(x))}$ とする。

解空間の基底の変換として、

${Y^{\gamma}(x) = Y(x)M(\gamma)}$

によって ${x}$ によらない定数行列 ${M(\gamma) \in \mathrm{GL}(2)}$ が定まる。

${M(\gamma)}$ は ${\gamma}$ の ${D}$ 内でのホモトピー類のみによって決まり、 ${\gamma}$ に対する回路行列という。

任意の ${M \in \mathrm{GL}(2)}$ に対して、 ${e^{2\pi iL} = M}$ となる ${L \in \mathrm{Mat}(2)}$ が存在する。

解の基本系 ${Y(x)}$ に対する回路行列 ${M = M(\gamma)}$ に対して、 ${e^{2\pi iL} = M}$ を満たす行列 ${L \in \mathrm{Mat}(2)}$ を１つとっておく。

解の基本系 ${Y(x)}$ に対して、 ${D}$ において一価正則関数を成分とするベクトル ${Z(x) = (z_1(x),z_2(x))}$ が存在して

${Y(x) = Z(x)(x - a)^L}$

と表すことができる。

ここで、

${(x - a)^L := e^{L\log(x - a)}}$

である。

${Z(x)}$ が ${x = a}$ を高々極に持つとき、 ${x = a}$ を方程式 \eqref{A} の確定特異点といい、そうでないとき不確定特異点という。

方程式 \eqref{A} が ${x = a}$ を確定特異点として持つとする。

このとき、次の形の基本解 ${Y(x) = (y_1(x),y_2(x))}$ がとれる：

Case 1:

${y_1(x) = (x - a)^{\lambda_1}\phi_1(x)}$

${y_2(x) = (x - a)^{\lambda_2}\phi_2(x)}$

${\phi_1(x),\,\phi_2(x)}$ は、 ${x = a}$ で正則で、 ${\phi_1(a)\cdot\phi_2(a) \neq 0}$ を満たす。

Case 2:

${y_1(x) = (x - a)^{\lambda_1}\phi_1(x)}$

${y_2(x) = (x - a)^{\lambda_2}\phi_2(x) + (x - a)^{\lambda_1}\phi_1(x)\log(x - a)}$

${\phi_1(x),\,\phi_2(x)}$ は、 ${x = a}$ で正則で、 ${\phi_1(a)\cdot\phi_2(a) \neq 0}$ を満たす。

Case 2 は ${\lambda_1 - \lambda_2 \in \mathbb{Z}}$ の場合にのみ起こる。