物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

相対性理論

SGCライブラリ - 56

相対性理論

基礎から実験的検証まで

三尾典克 著

2007年6月25日 初版発行

物理法則と座標系

マイケルソン・モーリーの実験

エーテルに対する地球の運動を測定する。

光源から出た光はビームスプリッターで直交する光路に分けられ、それぞれの鏡  {M_1,\,M_2}で反射されてもとに戻り、再びビームスプリッターで重ね合わされて干渉する。

 {\displaystyle I = \frac{I_{\max} + I_{\min}}{2} + \frac{I_{\max} - I_{\min}}{2}\cos(\phi_1 - \phi_2)}

 {\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 = 2\pi\nu(t_1 - t_2)}

  •  {\phi_i\,(i = 1,2)}:それぞれの光路を往復してきた光の位相
  •  {\nu}:光源が放出する単色光の振動数
  •  {t_i\,(i = 1,2)}:それぞれの光路を光が往復するために必要な時間

干渉系がエーテルに対して速度  {V} で、 {M_1} の方向に進んでいるとする。

  •  {\displaystyle t_1 = \frac{L}{c - V} + \frac{L}{c + V} = \frac{2cL}{c^2 - V^2}}
  •  {\displaystyle t_2 = \frac{2L}{\sqrt{c^2 - V^2}}}

 {\displaystyle \Delta\phi \approx \frac{2\pi\nu L}{c}\left(\frac{V}{c}\right)^2 = \frac{2\pi L}{\lambda}\left(\frac{V}{c}\right)^2}

位相差を読み取れば、エーテルに対する干渉系の運動が検出できるはずだが、実験で位相差は観測されなかった。

特殊相対性理論

  • 特殊相対性原理
  • 光速度不変の原理

重力と等価原理

アインシュタインの等価原理:

  • 弱い等価原理が成り立つ。(Weak equivalence principle, WEP)
  • 特殊相対性理論に基づき構築された全ての物理法則は、局所慣性系において成り立つ。(Local Lorentz invariance, LLI)
  • 物理法則や物理定数の値は、いついかなる場所でも同じである。(Local position invariance, LPI)

一般相対性理論とリーマン幾何学

微分演算の記法:

  •  {\displaystyle \frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = \partial_{\nu}A^{\mu}}
  •  {\displaystyle \frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = A^{\mu}{}_{,\nu}}
  •  {\displaystyle \nabla_{\nu}A^{\mu} = A^{\mu}{}_{;\nu}}

 {A^{\mu}{}_{;\nu} = A^{\mu}{}_{,\nu} + \Gamma^{\mu}{}_{\lambda\nu}A^{\lambda}}

 {T_{\mu\nu;\lambda} = T_{\mu\nu,\lambda} - \Gamma^{\rho}{}_{\mu\lambda}T_{\sigma\nu} - \Gamma^{\sigma}{}_{\nu\lambda}T_{\mu\sigma}}

コンマ・セミコロンルール

特殊相対性理論に基づいて定式化された方程式に関して、計量テンソルを  {\eta_{\mu\nu}} に、偏微分(コンマ)を共変微分(セミコロン)に置き換える操作で定式化を行う。

これにより得られた方程式は、一般座標変換に対するテンソル方程式となり、一般共変性原理を満たす。

ある曲線  {x^{\mu}(\lambda)} に対して、接線ベクトル  {v^{\mu} = dx^{\mu}/d\lambda} を曲線に沿って移動させると、それが平行移動になっている場合を考える。

 {v^{\nu}v^{\mu}{}_{;\nu} = v^{\nu}v^{\mu}{}_{,\nu} + \Gamma^{\mu}{}_{\epsilon\nu}v^{\epsilon}v^{\nu} = 0}

 {\displaystyle v^{\nu}v^{\mu}{}_{,\nu} = \frac{dx^{\nu}}{d\lambda}\frac{\partial v^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = \frac{dv^{\mu}}{d\lambda} = \frac{d^2x^{\mu}}{d\lambda^2}}

測地線方程式:

 {\displaystyle \frac{d^2x^{\mu}}{d\lambda^2} + \Gamma^{\mu}{}_{\epsilon\nu}\frac{dx^{\epsilon}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda} = 0}

局所ローレンツ系:

  •  {g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}}
  •  {g_{\mu\nu,\epsilon} = 0}

リーマンテンソル:

 {R^{\epsilon}{}_{\sigma\mu\nu} = \partial_{\mu}\Gamma^{\epsilon}{}_{\sigma\nu} - \partial_{\nu}\Gamma^{\epsilon}{}_{\sigma\mu} + \Gamma^{\delta}{}_{\sigma\nu}\Gamma^{\epsilon}{}_{\delta\mu} - \Gamma^{\delta}{}_{\sigma\mu}\Gamma^{\epsilon}{}_{\delta\nu}}

  •  {R_{\epsilon\sigma\mu\nu} = -R_{\epsilon\sigma\nu\mu}}
  •  {R_{\epsilon\sigma\mu\nu} = -R_{\sigma\epsilon\mu\nu}}
  •  {R_{\epsilon\sigma\mu\nu} = R_{\mu\nu\epsilon\sigma}}
  •  {R_{\epsilon\sigma\mu\nu} + R_{\epsilon\mu\nu\sigma} + R_{\epsilon\nu\sigma\mu} = 0}
  •  {R_{\epsilon\sigma\mu\nu;\delta} + R_{\epsilon\sigma\nu\delta;\mu} + R_{\epsilon\sigma\delta\mu;\nu} = 0}

リッチテンソル:

 {R_{\mu\nu} = R^{\sigma}{}_{\mu\sigma\nu}}

スカラー曲率:

 {R = g^{\mu\nu}R_{\nu\mu}}

アインシュタインテンソル:

 {\displaystyle G^{\mu}{}_{\nu} = g^{\mu\sigma}R_{\sigma\nu} - \frac{1}{2}\delta^{\mu}{}_{\nu}R}

 {G^{\mu}{}_{\nu;\mu} = 0}

アインシュタイン方程式

シュバルツシルト時空

重力波

一様・等方空間の力学

慣性系の引きずり効果