物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

３次元トポロジーの新展開

数学

SGCライブラリ - 57

３次元トポロジーの新展開

リッチフローとポアンカレ予想

戸田正人　著

2007年7月25日　初版発行

リーマン幾何

${(M,g)}$ を連結リーマン多様体とする。

${[a,b]}$ 上定義された区分的滑らかな曲線全体を ${\mathcal{PS}(M:a,b)}$ と表す。

${\gamma \in \mathcal{PS}(M:a,b)}$ に対して、長さ汎関数は以下で定められる：

$L(\gamma) = L(\gamma:a,b) := \int_a^b\left|\frac{\partial\gamma}{\partial s}(s)\right|ds = \sum_i\int_{s_i}^{s_{i + 1}}\left|\frac{\partial\gamma}{\partial s}(s)\right|ds$

${L}$ により ${(M,g)}$ 上には距離関数 ${\rho}$ が定められ、 ${(M,\rho)}$ は距離空間をなす。

${\rho_{(M,g)}(p,q) = \inf\{L(\gamma);\, \gamma \in \mathcal{PS}(M:a,b),\,\gamma(a) = p,\,\gamma(b) = q\}}$

長さ汎関数 ${L}$ の代わりにエネルギー汎関数 ${E}$ を考える。

$E(\gamma) = E(\gamma:a,b) := \int_a^b\left|\frac{\partial\gamma}{\partial s}(s)\right|^2ds$

${p,q \in M}$ に対して

${E(p,q:a,b) = \inf\{E(c:a,b);\,c: [a,b] \to M,\,c(a) = p,\,c(b) = q\}}$

とおくと、 ${E(p,q:a,b) = |b - a|\rho^2(p,q)}$ である。

区分的滑らかな曲線の１パラメータ族 ${\gamma_u: [a,b] \times (-\varepsilon,\varepsilon) \ni (s,u) \mapsto \gamma_u(s) \in M}$ で ${\gamma = \gamma_0}$ となるものを考える。

このとき、 ${U(s) = \partial \gamma_u/\partial u(s,0)}$ は ${\gamma}$ に沿った区分的滑らかなベクトル場となる。

${E}$ ：適当な曲線の族 ${\mathcal{F} \subset \mathcal{PS}(M)}$ 上の関数
${\gamma_u}$ ： ${\gamma}$ を通る ${\mathcal{F}}$ の曲線
${U}$ ：曲線 ${\gamma_u}$ の「接ベクトル」

${u \mapsto E(\gamma_u)}$ の ${u = 0}$ における微分は「接ベクトル」 ${U}$ に沿った方向微分 ${\delta_U E}$ と考えることができる。

エネルギー汎関数の停留点で ${\gamma}$ の満たす方程式（オイラー・ラグランジュ方程式）は以下で与えられる。

${\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma} = 0}$

${\dot{\gamma}}$ は曲線の方向ベクトル ${\partial \gamma/\partial s}$ である。

この方程式を満たす曲線を測地線という。

リッチフロー

リッチフローの特異性