SGCライブラリ - 62

熱方程式で学ぶ逆問題

Fourier 解析、関数解析から数値解析まで

山本昌宏・金成煥　共著

2008年3月25日　初版発行

熱方程式

断面積が一定値である長さが ${L}$ の金属の棒を考える。

棒の長さ方向に ${x}$ -座標をとる。

熱伝導現象は ${x}$ -座標と時間 ${t}$ によって決まるものと仮定する。

$\frac{\partial E}{\partial t}(x,t) = - \frac{\partial F}{\partial x}(x,t) + Q(x,t)$

${E(x,t)}$ ：単位長さあたりの熱エネルギー密度
${F(x,t)}$ ：熱流束
${Q(x,t)}$ ：単位時間あたりの熱源の強さ

${E(x,t) = c(x)\rho(x)u(x,t)}$

${u(x,t)}$ ：場所 ${x}$ 、時刻 ${t}$ における温度
${\rho(x)}$ ：棒の単位長さあたりの質量
${c(x)}$ ：棒の場所 ${x}$ における比熱

$F(x,t) = -K(x)\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)$

${K(x)}$ ：熱伝導率

熱方程式：

$c(x)\rho(x)\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = \frac{\partial}{\partial x}\left(K(x)\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)\right) + Q(x,t)$

一様な棒の場合：

$c\rho\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = K\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + Q(x,t)$

熱源が存在しない場合：

$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)$

$\alpha = \frac{K}{c\rho}$ ：熱拡散率

${x = 0,\,L}$ での境界条件：

温度指定：Dirichlet 境界条件
- ${u(0,t) = u_0(t),\quad t \gt 0}$
熱流束指定：Neumann 境界条件
- $-K\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = \phi_0(t),\quad t \gt 0$
- $K\frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = \phi_L(t),\quad t \gt 0$
熱伝達（Newton の冷却の法則）：混合型境界条件
- $K\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = H[u(0,t) - u_e(t)],\quad t \gt 0$
- $K\frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = -H[u(L,t) - u_e(t)],\quad t \gt 0$
- ${H}$ ：熱伝導率
- ${u_e}$ ：外気温度
放射伝熱境界条件
- $\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = \beta[u^4(0,t) - u_e^4(t)$
- ${\beta}$ ：ある物理定数
- ${u_e(t)}$ ：外気温度

Fourier 級数による熱方程式の解法

${\{f_n\}}$ を閉区間 ${I = [a,b]}$ で定義された関数からなる列とする。

各 ${x \in I}$ を固定するたびに、実数の列 ${\{f_n(x)\}}$ が収束するとする。

そのとき、 ${I}$ における関数 ${f}$ を以下で定める：

$f(x) = \lim_{n \to \infty}f_n(x),\quad x \in I$

関数列 ${\{f_n\}}$ は区間 ${I}$ で、関数 ${f}$ に各点収束するという。

以下を満たすとき、関数列 ${\{f_n\}}$ は関数 ${f}$ に区間 ${I}$ で一様収束するという。

$\lim_{n \to \infty}\sup_{x \in I}|f_n(x) - f(x)| = 0$

関数の級数 ${\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)}$ が ${I}$ で各点収束するとは、 ${s_N(x) = \sum_{n=1}^Nf_n(x)}$ で定まる部分和 ${\{s_N\}}$ が ${I}$ において、ある関数 ${f(x)}$ に各点収束することを意味する。

${\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)}$ が ${I}$ で一様収束するとは、 ${s_N}$ が ${I}$ で一様収束することをいう。

${\sum_{n=1}^{\infty}|f_n(x)|}$ がすべての ${x \in I}$ に対して収束するとき、絶対収束するという。

Fourier 級数

${[-\pi,\pi]}$ で次を満たす関数 ${f(x)}$ を考える：

$f(-\pi) = f(\pi)$
$\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|dx \lt \infty$

与えられた関数 ${f(x)}$ を三角級数で近似することを考える。

$\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$

係数 ${a_0,\,a_n,\,b_n}$ が以下で定まっているとき、三角級数を区間 ${[-\pi,\pi]}$ における関数 ${f(x)}$ の Fourier 級数と呼ぶ。

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad n = 0,1,2,3,\dots$
$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx,\quad n = 1,2,3,\dots$

これらの係数を、考えている三角関数系に関する ${f(x)}$ の Fourier 係数と呼ぶ。

Fourier 級数の各点収束

${f}$ は区分的になめらかであるとする。

${f(x)}$ の Fourier 級数は、 ${f(x)}$ の右側極限値と左側極限値の平均に収束する：

$\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx + b_n\sin nx) = \begin{cases} \frac{1}{2}(f(x + 0) + f(x - 0)),\, x \in (-\pi,\pi) \\ \frac{1}{2}(f(-\pi + 0) + f(\pi - 0)),\,x = \pm \pi\end{cases}$

特に ${f(x)}$ が ${x_0}$ で連続であれば、級数は ${x_0}$ で収束する：

$\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx_0 + b_n\sin nx_0) = f(x_0)$

Fourier 級数の絶対一様収束

${f}$ は区分的になめらかとし、連続であるとする。

そのとき、 ${f(x)}$ の Fourier 級数は、 ${f(x)}$ に ${[-\pi,\pi]}$ で絶対かつ一様に収束する。

しかも

$\sum_{n=1}^{\infty}(|a_n| + |b_n|) \lt \infty$

関数解析からの準備

Banach 空間

ノルム空間とは、複素数上のベクトル空間 ${X}$ であって、以下の性質をもつ ${X}$ から ${\mathbb{R}}$ への関数 ${||\cdot||}$ が定まっているものである：

すべての ${x \in X}$ に対して、 ${||x|| \ge 0}$
${||x|| = 0 \,\Longleftrightarrow\, x= 0}$
すべての ${x \in X,\,\alpha \in \mathbb{C}}$ に対して ${||\alpha x|| = |\alpha|\,||x||}$
${x,\,y \in X}$ に対して、 ${||x + y|| \le ||x|| + ||y||}$

${||\cdot||}$ をノルムと呼ぶ。

ノルム空間 ${X}$ における列 ${\{x_n\}}$ が、 ${n \to \infty}$ のとき、ある要素 ${x \in X}$ に収束するとは、 ${\lim_{n \to \infty}||x_n - x|| = 0}$ となることをいう。

ノルム空間 ${X}$ における列 ${\{x_n\}}$ が Cauchy 列であるとは、 ${\lim_{m,n \to \infty}||x_m - x_n|| = 0}$ となることをいう。

すべての Cauchy 列が収束するようなノルム空間を完備であると呼ぶ。

完備なノルム空間を Banach 空間と呼ぶ。

Hilbert 空間

以下、 ${z = \alpha + \sqrt{-1}\beta}$ 、ただし ${\alpha,\beta \in \mathbb{R}}$ に対して、 ${\bar{z} = \alpha - \sqrt{-1}\beta}$ とおいて、 ${\bar{z}}$ を ${z}$ の共役複素数と呼ぶ。

複素数体上のベクトル空間 ${H}$ は、次の４つの性質をもつ複素数値関数 ${\langle\cdot,\cdot\rangle}$ が ${H \times H}$ で定義されているとき、内積空間と呼ばれる：

${\langle x,x\rangle \ge 0}$ かつ ${\langle x,x\rangle = 0\,\Longleftrightarrow\, x= 0}$
すべての ${x,y,z \in H}$ に対して ${\langle x,y + z\rangle = \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle}$
すべての ${x,y \in H}$ と ${\alpha \in \mathbb{C}}$ に対して ${\langle\alpha x,y\rangle = \alpha\langle x,y\rangle}$
すべての ${x,y \in H}$ に対して ${\langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}}$

${\langle\cdot,\cdot\rangle}$ を内積と呼ぶ。

Schwarz の不等式

${x,\,y}$ が内積空間のベクトルならば ${|\langle x,y\rangle| \le ||x||\,||y||}$

内積空間は、 ${||x|| = \langle x,x\rangle^{1 / 2}}$ をノルムにもつノルム空間である。

内積から定まるノルムによって完備である内積空間を Hilbert 空間と呼ぶ。

内積空間のベクトル ${x,\,y}$ は ${\langle x,y\rangle = 0}$ のとき、直交するという。

${S \subset H}$ は ${x,y \in S}$ かつ ${x \neq y}$ ならば ${\langle x,y\rangle = 0}$ であるとき、直交系であるという。

さらに、すべての ${x \in S}$ に対して ${\langle x,x\rangle =1}$ ならば、正規直交系であるという。

${S = \{\varphi_j\}_{j \in \mathbb{N}}}$ を Hilbert 空間 ${H}$ の正規直交系とする。

そのとき、次は同値である：

すべての ${j \in \mathbb{N}}$ に対して、 ${\langle x,\varphi_j\rangle = 0}$ ならば、 ${x = 0}$

すべての ${x \in H}$ に対して、 ${\sum_{j=1}^{\infty}|\langle x,\varphi_j\rangle|^2 = ||x||^2}$

すべての ${x \in H}$ に対して、 ${x = \sum_{j=1}^{\infty}\langle x,\varphi_j\rangle\varphi_j}$