物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

重力理論講義

SGCライブラリ - 63

重力理論講義

相対性理論と時空物理学の進展

前田恵一 著

2008年5月25日 初版発行

ニュートン重力理論と特殊相対性理論

物質がある有限領域に分布している場合を考える。

ある点( {\mathbf{r}})にある単位質量の質点に働く重力  {\mathbf{F}} は、重力ポテンシャル  {\phi} を用い、 {\mathbf{F} = -\nabla\phi} で表される。

 {\displaystyle \phi = -G\int d^3\mathbf{r}^{\prime}\frac{\rho(\mathbf{r}^{\prime})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}|}}

ニュートン重力理論は、楕円型方程式によって定式化される。

 {\Delta\phi = 4\pi G\rho(\mathbf{r})}

分布が与えられた瞬間にポテンシャルが求まり、質点に働く重力が決定される。(遠隔作用)

重力と曲がった時空

曲がった時空の世界間隔:

 {ds^2 = g_{\mu\nu}(x)dx^{\mu}dx^{\nu}}

 {g_{\mu\nu}(x)} は時空の各点  {x^{\mu}} に依存した計量である。

曲がった時空中の自由粒子の運動方程式は作用変分で与えられる。

 {\displaystyle \delta\int ds = 0}

世界間隔  {ds} はこの時空の「距離」の役割をし、変分は世界間隔が極値をとるということを意味する。

そのようにして得られた「最短」経路を測地線と呼ぶ。

リーマン幾何学と一般相対性理論

計量  {g_{\mu\nu}} が定義された  {D} 次元多様体  {\mathcal{M}}(リーマン多様体)を考える。

 {ds^2 = g_{AB}(x)dx^Adx^B}

 {D} 次元リーマン空間  {(\mathcal{M},\,g_{AB})} 上の2点  {\mathrm{P},\,\mathrm{Q}} を結ぶ曲線  {C: x^A = x^A(\lambda)} の長さ:

 {\displaystyle L = \int_{\mathrm{P}}^{\mathrm{Q}}ds = \int_{\mathrm{P}}^{\mathrm{Q}}d\lambda\sqrt{g_{AB}\frac{dx^A}{d\lambda}\frac{dx^{\mathrm{B}}}{d\lambda}}}

 {\lambda} はアフィン係数と呼ばれ、曲線  {C} を規定するパラメータである。

長さ  {L} の変分をとることにより2点  {\mathrm{P},\,\mathrm{Q}} を結ぶ最短コースを求めると、曲線  {C} の満たすべき方程式が得られる。(測地線方程式)

 {\displaystyle \frac{d^2x^A}{d\lambda^2} + \Gamma^A{}_{BC}\frac{dx^B}{d\lambda}\frac{dx^C}{d\lambda} = 0}

アインシュタイン方程式

設定する原理:

  • 一般共変性がある。(一般相対性原理)
  • エネルギー・運動量保存則が成立する。
  • 非相対論的極限でニュートン重力理論を再現する。

 {\displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}}

アインシュタイン・ヒルベルト重力作用:

 {\displaystyle S_g = \frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}R}

アインシュタインは正しかった

アインシュタインの予言:その1 宇宙論

アインシュタインの予言:その2 重力波

アインシュタインの予言:その3 ブラックホール

時空の対称性と一様宇宙のダイナミクス

軸対称定常時空と逆散乱法

ブラックホールの時空構造:重力の最も強い世界

相対論的重力と力学系

時空のダイナミクス

ブラックホールの熱力学

基本定数が変化する?

超ミクロな世界の重力

一般化された重力理論

高次元宇宙論と時空の次元

超マクロ世界の重力