物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

代数幾何入門講義

SGCライブラリ - 64

代数幾何入門講義

小林正典 著

2008年6月25日 初版発行

ネーター環

 {R} の部分  {R} 加群を  {R} のイデアルという。

イデアル  I {a_1,\dots,a_n} で生成されるとき、 {I = (a_1,\dots,a_n)} と書く。

真のイデアル  {P} で「 {pq \in P} ならば  {p \in P} または  {q \in P}」が成り立つものを素イデアルという。

包含関係に対して極大な真のイデアルを極大イデアルという。

可換環  {R} の真のイデアル  {I} に対し、 {I} を含む極大イデアルが存在する。

次の同値な3条件を満たす環  {R} をネーター環という。

  • 昇鎖条件: {R} の任意のイデアルの増加列  {I_0 \subset I_1 \subset \cdots \subset I_n \subset \cdots} に対し、ある自然数  {N} が存在して、 {I_N = I_{N+1} = \cdots} が成り立つ。
  • 極大条件: {R} のイデアルを要素とする空でない集合  {\mathcal{J}} は、包含関係に関して極大元をもつ。
  • 有限条件: {R} の任意のイデアルは有限生成である。

ヒルベルトの基底定理

 {R} がネーター環ならば、多項式環  {R[x]} もネーター環である。

環準同型  {R \to R^{\prime}} があるとき、 {R^{\prime}} {R} 代数と思える。

 {R} 代数  {R^{\prime}} の元  {b} {R} 上整であるとは、 {b} {R} 係数のモニックな(最高次の係数が  {1} である)多項式方程式の解となることをいう。

 {R^{\prime}} のすべての元が  {R} 上整であるとき、 {R^{\prime}} {R} 上整であるという。

ネーターの正規化定理

 {A} を有限生成  {k} 代数とすると、 {k} 上代数的に独立な元  {z_1,\dots,z_d \in A} が存在して、 {A} {k[ z_1,\dots,z_d]} 代数として有限(特に整)である。

アフィン代数多様体

ここでは体  {k} を固定し、 {n} 変数多項式環  {k[x_1,\dots,x_n]} {R} で表す。

いくつかの多項式  {f_j(x_1,\dots,x_n) \in R\,(j = 1,\dots,m)} に対し、 {k^n} 内の共通零点集合( {f_1 = \cdots = f_m = 0} の解集合)を(アフィン)代数的集合という。

 {k^n} 自身を代数的集合と見たとき( {k} 上の) {n} 次元アフィン空間といい、 {\mathbf{A}_k^n} あるいは  {\mathbf{A}^n} で表す。

 {R} の部分集合  {S} に対し、 {V(S)} {S} に属するすべての多項式の共通零点集合を表す。

 {S,\,T} {R} の部分集合とするとき、以下が成り立つ。

  •  {S \subset T \,\Longrightarrow\, V(S) \supset V(T)}
  •  {I} {S} のすべての元で生成されるイデアルとすると、 {V(I) = V(S)}

代数的集合  {V \subset \mathbf{A}^n} に対し、関数  {\varphi: V \to k} {V} 上の多項式関数であるとは、ある多項式  {f(x_1,\dots,x_n) \in R} が存在して、 {V} 上の各点で値が一致する( {\varphi = f|_V})ことをいう。

 {V} 上で  {0} となる  {R} の元全体を  {I(V)} と書く。

 {I(V)} はイデアルであり、二つの多項式  {f,g \in R} {V} 上の多項式関数として同じであるのは、 {f - g \in I(V)} と同値である。

 {V} 上の多項式関数の全体  {A(V) = R/I(V)} {V} の(アフィン)座標環という。

 {A(V)} は被約( {0} 以外にべき零元をもたない)有限生成  {k} 代数である。

代数的集合  {V  \subset \mathbf{A}^n} から代数的集合  {W \subset \mathbf{A}^m} への多項式写像とは、 {V} の多項式関数  {f_1,\dots,f_m} を並べてできる写像

 {f: V \in (x_1,\dots,x_n) \mapsto (f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_1,\dots,x_n)) \in W}

のことをいう。

 {\mathbf{A}^m} の多項式環を  {R^{\prime} =k[y_1,\dots,y_m]} とする。

 {f_1,\dots,f_m \in R} {g \in R^{\prime}} に対し、 {g \in I(W)} ならば  {g(f_1,\dots,f_m) \in I(V)} であるから、引き戻し  {f^{\ast}: A(W) \ni g \mapsto g \circ f \in A(V)} が定まる。

 {f: V \to W} を多項式写像とする。

  •  {W} 上の多項式関数  {g} に対し、 {f^{\ast}(g) = g \circ f} {V} 上の多項式関数であり、引き戻し  {f^{\ast}: A(W) \to A(V)} {k} 代数準同型である。
  • 逆に、 {W} の任意の多項式関数の引き戻しが  {V} の多項式関数になる写像  {V \to W} は多項式写像に限る。

 {V} から  {W} への多項式写像と、 {A(W)} から  {A(V)} への  {k} 代数準同型は1対1に対応する。

アフィン代数多様体

 {X} を空でない位相空間とする。

 {X} が可約であるとは、二つの真の閉集合の和集合に表せることをいう。

可約でないとき既約であるという。

代数的集合  {V} に対し、次が成立する。

 {V} が既約  {\Longleftrightarrow}  {A(V)} が整域

既約な代数的集合  {V} をアフィン代数多様体という。

任意の代数的集合は有限個の既約な代数的集合の和集合で表せる。

アフィンスペクトル

 {A} に対し、 {A} の素イデアル全体の集合を  {\mathrm{Spec}\,A} で表し、 {A} の(アフィン)スペクトルという。

 {k} 上の  {n} 変数多項式環  {R = k[x_1,\dots,x_n]} に対し、 {\mathrm{Spec}\,R} {\mathbf{A}_k^n} と書き、 {k} 上の  {n} 次元アフィン空間と呼ぶ。

 {A} のイデアル  {I} に対し、 {V(I) := \{P \in \mathrm{Spec}\,A\,|\,P \supset I\}} と定める。

次が成り立つ。

  •  {I \subset J \,\Longrightarrow\, V(I) \supset V(J)}
  •  {V( (0) ) = \mathrm{Spec}\,A,\,V(A) = \varnothing}
  •  {\bigcap_{\lambda}V(I_{\lambda}) = V(\sum_{\lambda}I_{\lambda})}
  •  {V(I) \cup V(J) = V(IJ)}

 {\{V(I)\,|\,I} {A} のイデアル  {\}} を閉集合として  {\mathrm{Spec}\,A} に位相が定まる。(ザリスキー位相)

 {\displaystyle V(I)^c = \{P \in \mathrm{Spec}\,A\,|\,P \not\supset I\} = \bigcup_{f \in I}\{P \in \mathrm{Spec}\,A\,|\,f \notin P\}}

 {D(f) := \{P \in \mathrm{Spec}\,A\,|\,f \notin P\}} と表すと、 {D(f) = V( (f) )^c} はそれ自身開集合であり、 {\{D(f)\,|\,f \in A\}} {\mathrm{Spec}\,A} の開基になる。

  •  {D(1) = \mathrm{Spec}\,A}
  •  {D(fg) = D(f) \cap D(g)}

 {\mathrm{Hom}} {\otimes}、完全系列

 {R} 加群  {M,\,N} に対し、 {R} 線形写像の全体  {\mathrm{Hom}\,(M,N)} は自然に  {R} 加群になる。

  •  {(f + g)(m) := f(m) + g(m)}
  •  {(rf)(m) := r(f(m))}

 {f,g \in \mathrm{Hom}(M,N),\,m \in M,\, r \in R}

 {M} の上の線形形式の全体、すなわち  {\mathrm{Hom}\,(M,R)} {M^{\ast}} と書き、 {M} の双対  {R} 加群という。

 {M} から  {(M^{\ast})^{\ast}} への自然な  {R} 準同型  {i: M \to M^{\ast\ast},\, m \mapsto (f \mapsto f(m))} ができる。

圏と関手

概型

連接層

概型の射

代数多様体

アーベル圏

層係数コホモロジー

スペクトル系列