SGCライブラリ - 65

ネットワーク科学への招待

世界の“つながり”を知る科学と思考

青山秀明・相馬亘・藤原義久　共編著

2008年7月25日　初版発行

物理・数理

振動子ネットワーク

１振動子に周期外力が作用する系を考える。

外力の作用の強さ ${\kappa}$ の１次摂動に対する運動方程式：

${\dot{\phi} = \omega + \kappa f(\phi - \Omega t)}$

${\phi}$ ：振動子の位相
${\omega}$ ：振動子の固有振動数
${f(\phi)}$ ： ${\phi}$ の ${2\pi}$ 周期関数

位相差 ${\psi = \Omega t - \phi}$ で書き換えると

${\dot{\psi} = \Delta\omega + \kappa f(-\psi)}$

振動数のミスマッチ ${\Delta\omega \equiv \Omega - \omega}$ が外力の大きさ（ ${\sim \kappa}$ ）よりも小さい場合、 ${\dot{\psi} = 0}$ なる安定解が必ず存在する。（ ${\dot{\phi} = \Omega}$ ）

したがって、振動子は周期外力に引き込まれ、外力の振動数と完全に一致した振動数を持つようになる。

サイズが ${N}$ のネットワーク系を考える。

振動子の固有振動数は一様に ${\omega}$ であるが、振動子 ${1 \lt i \lt N_1}$ が振動数 ${\Omega \equiv \omega + \Delta\omega}$ を持つペースメーカーから直接接続を受けていると仮定する。

$\dot{\phi}_i = \omega + \frac{\kappa}{z}\sum_{j=1}^NA_{ij}f(\phi_i - \phi_j)\quad$ for ${i \gt N_i}$

${\phi_i = \Omega t\quad}$ for ${i \le N_1}$

結合行列 ${\mathbf{A}}$ の各要素 ${A_{ij}}$ は ${1}$ か ${0}$ の値をとる。
平均次数 ${z}$ は各振動子の持つ総入力数の平均
正の定数 ${\kappa}$ は結合の強さ
${f(x) = -\sin(x)}$

結合強度 ${\kappa}$ を上げていくと、内部の同期性を保ちながら、次第にペースメーカーの振動数に近づいていく。

ある結合強度（ ${\kappa = \kappa_{\mathrm{cr}}}$ ）で全集団が一気にペースメーカーに引き込まれる。

結合強度をさらに上げると、引き込みは保たれたまま、ペースメーカーと振動子集団との位相差が小さくなっていく。

ランダム・ウォーク

同じ頂点から始まるランダム・ウォークを多数回走らせて、何らかの統計量を問う。

時刻 ${n}$ における出発点 ${v_s}$ からの距離の分布
それまでに訪れた頂点数の分布
再び ${v_s}$ に戻ってくる確率 ${y_n}$
初めて ${v_s}$ に戻る確率 ${x_n}$
初めて頂点 ${v_e (\neq v_s)}$ に達する確率

$y_n = \sum_{n^{\prime} = 1}^nx_{n^{\prime}}y_{n - n^{\prime}} + \delta_{n,0}$

${x_n,y_n}$ の生成関数を定義する：

$X(z) \equiv \sum_{n=0}^{\infty}x_nz^n$
$Y(z) \equiv \sum_{n=0}^{\infty}y_nz^n$

${Y(z) = X(z)Y(z) + 1}$

${\mathrm{Prob}\,(x_n \lt \infty) = 1}$ のとき、ランダム・ウォークは再帰的であるという。

再帰的であることは ${X(1) = 1}$ であることと同値である。

ゴルトン・ワトソン木

頂点次数 ${k}$ が頂点ごとに独立に、前もって用意した次数分布 ${\{p_k\}}$ に従って決められたグラフ上の、ある１点 O を起点とするランダム・ウォークを考える。

${q_n}$ を時刻 ${2n}$ でウォーカーが初めて O に帰る確率とする。（ ${q_n = x_{2n}}$ ）

${\{q_n\}}$ の生成関数 ${Q(z)}$ ：

$Q(z) \equiv \sum_{n=0}^{\infty}q_nz^n$

ゴルトン・ワトソン木上のランダム・ウォークは非再帰的と知られているので、 ${Q(1) \lt 1}$ である。

各部分木ウォークの長さ（O' から出発して O' に戻る）の分布は、元のランダム・ウォークが O から出発して O に初めて戻るまでの時間の分布に等しいと近似する。

$q_n = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{p_k}{k}\sum_{a=0}^{\infty}\left(\frac{k-1}{k}\right)^a\sum_{n_i}\prod_{a^{\prime} = 1}^aq_{n_{a^{\prime}}}$

ただし、 ${n_i}$ についての和は、 ${\sum_{i=1}^an_i = n - 1,\,(n_i \ge 0)}$ となるような ${n_1,n_2,\dots,n_a}$ についてのみとする。

$Q(z) = z\sum_{k=1}^{\infty}\frac{p_k}{k}\sum_{a=0}^{\infty}\left(\frac{k-1}{k}\right)^aQ(z)^a = z\sum_{k=1}^{\infty}\frac{p_k}{k - (k - 1)Q(z)}$

${Q(1) \lt 1}$ となる解を探すために右辺を展開する。

$Q(z) = \frac{zM[Q(z)]}{Q(z)}$

$M(z) \equiv \sum_{n=1}^{\infty}m_nz^n$
$m_n \equiv \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(k - 1)^{n-1}}{k^n}p_k$

ラグランジュの反転公式

${z = w/f(w)}$ と置き、 ${w/f(w)}$ は ${w = 0}$ の近傍で解析的とする。

もし、もう一つの関数 ${g}$ が無限回微分可能ならば

$g(w(z)) = g(0) + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\left[\frac{d^{n-1}}{du^{n-1}}[g^{\prime}(u)f(u)^n]\right]_{u=0}$

${w(z) = Q(z)}$ 、 ${f(w) = M(w)/w}$ 、 ${g(w) = w}$ として公式を用いる：

$Q(z) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\left[\frac{d^{n-1}}{du^{n-1}}\left(\frac{M(u)}{u}\right)^n\right]_{u=0}$

$M(u)^n = \sum_{n^{\prime} = n}^{\infty}u^{n^{\prime}}\sum_{\lambda \vdash n^{\prime}}^{\prime}\frac{n!}{\prod_{l=1}^{\infty}i_{\lambda}(l)!}\prod_{l=1}^{\infty}m_l^{i_{\lambda}(l)}$

${\lambda \vdash n^{\prime}}$ は ${n^{\prime}}$ の自然数への分割
分割 ${\lambda = (1^{i_{\lambda}(1)}2^{i_{\lambda}(2)}\cdots)}$ は、 ${1}$ が ${\lambda}$ に ${i_{\lambda}(1)}$ 個含まれ…という意味
$\sum^{\prime}$ は ${n^{\prime}}$ の分割 ${\lambda}$ のうち、 ${\sum_{l=1}^{\infty}i_{\lambda}(l) = n}$ となるものだけについての和を表す。