物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

超関数・フーリエ変換入門

物理数学

SGCライブラリ - 72

超関数・フーリエ変換入門

基礎から偏微分方程式への応用まで

磯崎洋　著

2010年3月25日　初版発行

可積分関数のフーリエ変換

直線上の関数 ${f(x)}$ のフーリエ変換：

$\hat{f}(\xi) = (2\pi)^{-1 / 2}\int_{\mathbf{R}^1}e^{-ix\cdot\xi}f(x)dx,\quad \xi \in \mathbf{R}^1$

$f(x) = (2\pi)^{-1 / 2}\int_{\mathbf{R}^1}e^{ix\cdot\xi}\hat{f}(\xi)d\xi$

${f(x)}$ にそのフーリエ変換を対応させる写像を ${\mathcal{F}}$ と書く。

$(\mathcal{F}f)(\xi) = (2\pi)^{-1 / 2}\int_{\mathbf{R}}e^{-ix\cdot\xi}f(x)dx$

解析関数とフーリエ変換

${\varphi(z)}$ が単連結領域 ${D \subset \mathbf{C}}$ 上で正則であれば、 ${D}$ 内の任意の点 ${z}$ と ${z}$ のまわりを１周する ${D}$ 内の曲線 ${C}$ に対して以下が成り立つ。

$\int_C\varphi(z)dz = 0$

$\varphi(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{\varphi(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta$

${f(x) \in L^1(\mathbf{R})}$ の台が有界のとき、 ${\hat{f}(\xi)}$ は ${\mathbf{C}}$ 全体で正則な関数に解析接続される。

１変数の超関数

${I = (a,b)}$ を ${\mathbf{R}}$ の開区間とする。

${C_0^{\infty}(I)}$ とは ${I}$ 内にコンパクトな台を持つ無限回微分可能関数全体である。

${\mathcal{D}(I) = C_0^{\infty}(I)}$ とおくと、 ${\mathcal{D}(I)}$ 上の線形汎関数とは ${\mathcal{D}(I)}$ から ${\mathbf{C}}$ への線形写像（作用素）のことである。

線形汎関数 ${T}$ が ${\varphi \in \mathcal{D}(I)}$ におきてとる値を ${\langle T,\varphi\rangle}$ と書く。

${K \subset I}$ を満たす有界閉区間 ${K}$ を ${I}$ のコンパクト区間という。

${C_0^{\infty}(K) = \{\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbf{R});\,\mathrm{supp}\,\varphi \subset K\}}$

${T}$ が ${I}$ 上の超関数であるとは、 ${T}$ が ${\mathcal{D}(I)}$ 上の線形汎関数であり、かつ任意のコンパクト区間 ${K \subset I}$ に対して定数 ${C_K}$ と ${0}$ 以上の整数 ${k = k_K}$ が存在し、以下が成り立つことである。

$|\langle T,\varphi\rangle| \le C_K\mathrm{sup}_{x \in K}\sum_{0 \le m \le k}|\varphi^{(m)}(x)|,\quad \forall\varphi \in C_0^{\infty}(K)$

${I}$ 上の超関数全体を ${\mathcal{D}^{\prime}(I)}$ で表す。

多変数の超関数

楕円型方程式

定常位相の方法

波動方程式