物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

超弦理論を学ぶための場の量子論

SGCライブラリ - 76

超弦理論を学ぶための場の量子論

鈴木久男 著

2010年9月25日 初版発行

量子力学のルールを学ぼう

バネ定数  {k = m\omega^2} の調和振動子の古典的な運動方程式

 {\displaystyle m\frac{d^2}{dt^2}x(t) = -m\omega^2x(t)}

エネルギー

 {\displaystyle H = \frac{1}{2}\left(m\omega^2x + \frac{p^2}{m}\right) = \alpha^{\ast}(t)\alpha(t)}

 {\displaystyle \alpha(t) = \sqrt{\frac{m}{2}}\omega x + i\frac{p}{\sqrt{2m}}}

量子化すると、 {[\hat{x},\hat{p}] = i\hbar} より  {[\alpha,\alpha^{\dagger}] = \hbar\omega} となる。

 {\displaystyle H = \frac{\hbar\omega}{2}[aa^{\dagger} + a^{\dagger}a]}

  •  {a = \alpha/\sqrt{\hbar\omega}}
  •  {[a,a^{\dagger}] = 1}

エネルギーを増加させる演算子  {a^{\dagger}} は生成演算子と呼ばれ、 {a} は消滅演算子と呼ばれる。

相対性理論と量子力学の融合

ポアンカレ変換

 {x^{\prime} = \Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu} + a^{\mu}}

  • 並進の演算子: {P_{\mu} = i\partial_{\mu}}
  • 回転の演算子: {J^{\mu\nu} = i(x^{\mu}\partial^{\nu} - x^{\nu}\partial^{\mu})}

場の量子論の考え方

粒子が存在する状態は、真空状態に生成演算子で粒子を作り出すことで得られる。(場の量子化)

  •  {\displaystyle \psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n\psi_n(x)}
  •  {\displaystyle \psi^{\dagger}(x) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n^{\dagger}\psi_n^{\ast}(x)}
  •  {[a_m,a_n^{\dagger}] = \delta_{m,n}}
  •  {[a_m,a_n] = [a_m^{\dagger},a_n^{\dagger}] = 0}

 {\psi(x,t) = e^{iHt/\hbar}\psi(x,0)e^{iHt/\hbar}} より

  •  {\displaystyle \psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n\psi_n(x)e^{-iE_nt}}
  •  {\displaystyle \psi^{\dagger}(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n^{\dagger}\psi_n(x)e^{iE_nt}}

経路積分による量子化とは?

スカラー場の相互作用をどうやって記述する?

スピン  {\frac{1}{2}} 場を量子化しよう

光子の量子論と電磁相互作用

くり込み理論

対称性と対称性の破れ

非可換ゲージ理論と量子色力学

素粒子標準模型とは何か?

大統一理論を学ぼう

重力とその量子化の困難とは?

弦理論への序章