SGCライブラリ - 77

重点解説　ジョルダン標準形

行列の標準形と分解をめぐって

西山亨　著

2010年10月25日　初版発行

線型写像と行列

体 ${K}$ 上のベクトル空間 ${V}$ からそれ自身への線形写像を線形変換と呼ぶ。

${V}$ 上の線形変換の全体を ${\mathrm{End}_KV}$ または単に ${\mathrm{End}\,V}$ で表す。

線形変換 ${f: V \to V}$ をある基底に対して行列表示したものが ${A}$ であるとき、別の基底を取って行列表示すれば、ある正則行列（基底の取替行列） ${P}$ が存在して ${P^{-1}AP}$ の形に表される。

逆に、任意の正則行列 ${P}$ に対して ${P^{-1}AP}$ の形の行列は ${f}$ のある基底に関する行列表示である。

${n}$ 次の正則行列の全体は一般線形群 ${\mathrm{GL}_n(K)}$ をなす。

${\mathrm{GL}_n(K) := \{X \in M_n(K)\,|\,\det X \neq 0\}}$

固有値と対角化

${\lambda \in \mathbb{C}}$ を線形変換 ${f: V \to V}$ の固有値とする。

固有値 ${\lambda}$ の固有空間：

${V(f;\lambda) = \{v \in V\,|\,f(v) = \lambda v\} = \mathrm{Ker}(f - \lambda)}$

固有値 ${\lambda}$ の一般固有空間：

$V_{\infty}(f;\lambda) = \{v \in V\,|\,(f - \lambda)^N(v) = 0\quad (\exists N \ge 1)\} = \bigcup_{N=1}^{\infty}\mathrm{Ker}(f - \lambda)^N$

線形変換 ${f: V \to V}$ の相異なる固有値を ${\lambda_1,\dots,\lambda_l}$ とし、 ${V_{\infty}(f;\lambda_i)}$ で固有値が ${\lambda_i}$ の一般固有空間を表すとする。

このとき ${V = \oplus_{i=1}^lV_{\infty}(f;\lambda_i)}$ は直和分解を与える。

行列の対角化

${n}$ 次正方行列 ${A}$ に対して、ある正則行列 ${P}$ が存在して

${P^{-1}AP = \mathrm{diag}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}$

の形にできるとき、 ${A}$ は対角化可能であるという。

${n}$ 次正方行列 ${A}$ に対して、次の条件はすべて同値である。

${A}$ は対角化可能である。

${A}$ の固有ベクトルからなる ${\mathbb{C}^n}$ の基底が存在する。

${\lambda_1,\dots,\lambda_l}$ を ${A}$ の相異なる固有値とするとき、 ${\mathbb{C}^n = \oplus_{i=1}^lV(A;\lambda_i)}$ が成り立つ。

${A}$ の任意の固有値 ${\lambda}$ に対して ${V(A;\lambda) = V_{\infty}(A;\lambda)}$ が成り立つ。

${A_1,A_2,\dots,A_m}$ を ${n}$ 次正方行列で、すべて対角化可能であるとする。

もし ${A_1,A_2,\dots,A_m}$ が互いに可換であれば、ある正則行列 ${g \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})}$ が存在して、 ${g^{-1}A_ig}$ （ ${1 \le i \le m}$ ）がすべて対角行列であるようにできる。

このようなとき、 ${\{A_1,\dots,A_m\}}$ は同時対角化可能であるという。

逆に ${\{A_1,\dots,A_m\}}$ が同時対角化可能であれば、それらは可換である。

行列の標準形

線形変換 ${f: V \to V}$ が冪零変換であるとは、ある十分大きな整数 ${m \gt 0}$ に対して ${f^m = 0}$ となることである。

線形変換 ${f \in \mathrm{End}_KV}$ が主冪零変換であるとは、 ${V}$ の基底 ${v_1,\dots,v_n}$ であって、 ${f(v_i) = v_{i+1}}$ （ ${1 \le i \le n - 1}$ ）かつ ${f(v_n) = 0}$ となるようなものが存在するときに言う。

正方行列 ${X \in M_n(K)}$ が主冪零行列であるとは、線形変換 ${L_X \in \mathrm{End}_K(K^n)}$ が主冪零変換のときに言う。

主冪零行列を逆順に並べた基底 ${\{v_n,v_{n-1},\dots,v_1\}}$ に関して ${X}$ を行列表示：

$$ X \quad\leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ & & & & 0 \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^{n-1}E_{i,i+1} \equiv J_n(0) $$

${E_{i,j}}$ は第 ${(i,j)}$ 成分が ${1}$ で、その他は ${0}$ であるような ${n}$ 次正方行列を表す。

${X \in M_n(K)}$ を冪零行列とすると、ある正則行列 ${P}$ が存在して

$$P^{-1}XP = \begin{pmatrix}J_{m_1}(0) & & \\ & \ddots & \\ & & J_{m_k}(0)\end{pmatrix} = J_{m_1}(0) \oplus \cdots \oplus J_{m_k}(0)$$

と表すことができる。

主冪零行列のサイズ ${m_1,\dots,m_k}$ は順序を除いて一意的である。