SGCライブラリ - 81

繰りこみ群の物理と数理

問題と解法の探求

伊東恵一　著

2011年3月25日　初版発行

繰りこみ群の原型

格子上の ${\phi_d^4}$ 模型を考える。

${x_{\mu}}$ での偏微分を ${\mu}$ 方向差分で置き換える。

${R^d \to Z^d}$
$\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}f(x) \to f(x + e_{\mu}) - f(x)$
${(e_{\mu})_i = \delta_{i,\mu}}$

格子空間 ${Z^d}$ 上のラプラシアン（ ${d \ge 3}$ ）

$\int\phi(x)\phi(y)d\mu_0(\phi) = \frac{1}{-\Delta}(x,y) \sim \frac{1}{(d - 2)|S_d|}\frac{1}{|x - y|^{2\alpha}}$

${\alpha = (d - 2) / 2}$
${S_d = \{x \in R^d;\,||x|| = 1\}}$

$$ |S_d| = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)} = \begin{cases} 4\pi & d = 3 \\ \pi^2 & d = 4 \end{cases} $$

これは ${d}$ 次元格子空間上の Poisson 方程式の基本解であり、クーロンポテンシャルまたは重力ポテンシャルである。

${|x - y| \to \infty}$ で ${R^d}$ 上の普通の基本解に戻る。

単位格子空間 ${Z^d}$ の中に任意に大きな正方領域 ${\Lambda_0}$ をとり、これを格子点 ${LZ^d}$ を中心に ${L \times \cdots \times L}$ のブロック ${\square}$ に切り分ける。

${\Lambda_0}$ を ${L}$ だけスケールダウンした単位格子空間

$\Lambda_1 = \frac{1}{L}(\Lambda_0 \cap LZ^d)$

この操作は続けられて ${\Lambda_2,\cdots}$ が得られる。

${\Lambda_0 \supset \square}$ 内の ${L^d}$ 個のスピンの重み付き平均を ${\phi_1(x)}$ に固定し、残りの自由度で積分、この手続きを ${n}$ 回繰り返し続けていくと、距離が ${L^n}$ での作用が得られる。

${\phi_1(x) = (C\phi)(x)}$

$(Cf)(x) = \frac{1}{L^{d - \alpha}}\sum_{\zeta \in \square}f(Lx + \zeta)$

${\zeta}$ は原点中心、大きさ ${L^d}$ の立方体 ${\square}$ の内の点
${C}$ ：ブロックスピン変換作用素

ブロックスピン変換はガウス測度 ${d\mu_0}$ を（ほぼ）不変にする：

$\int\phi_1(x)\phi_1(y)d\mu_0 \sim \sum_{\zeta,\xi}\frac{1}{L^{2d - 2\alpha}}\frac{1}{|Lx - Ly + \zeta - \xi|^{2\alpha}} \sim \frac{1}{|x - y|^{2\alpha}}$

${\phi(x)}$ はブロックスピン ${\phi_1(x)}$ とその周りの揺れの一次結合で記述される：

${\phi(x) = (A_1\phi_1)(x) + (Qz_0)(x)}$

${\{z_0(x);\,x \in \Lambda_0\backslash L\Lambda_1\}}$ は ${Z^4\backslash LZ^4}$ に生きているガウス分布に従う揺動場で、短い相関をもつ。（相関長 ${\sim L}$ ）

${A_1: R^{\Lambda_1} \to R^{\Lambda_0}}$
${Q: R^{\Lambda_0\backslash L\Lambda_1} \to R^{\Lambda_0}}$
$(CA_1)(x) = \sum_y\frac{1}{L^{d - \alpha}}A_1(x,y) = 1$
${(CQ)(x) = 0}$

${\phi_1,\dots,\phi_n}$ も同様にガウス変数への分解をもつ：

${\phi_n(x) = (A_{n+1}\phi_{n+1})(x) + (Qz_n)(x)}$

すなわち ${\phi}$ は短距離相関をもつ独立なガウス変数 ${\{z_n(x)\}}$ に分解される：

${\phi_0(x) = \sum(\mathcal{A}_nQz_n)(x)}$

${\mathcal{A}_n = A_n\cdots A_1}$
${\mathcal{A}_0 = 1}$

ブロックスピン変換を繰り返すと、ガウス測度 ${d\mu_0(\phi)}$ はガウス測度 ${d\mu_{\infty}(\phi)}$ に収束する。

$\int \phi(x)\phi(y)d\mu_{\infty} = \kappa_d\int_{\square_x}\int_{\square_y}\frac{1}{|x + \zeta - y - \xi|^{2\alpha}}d\zeta d\xi$

${\square_x}$ は ${x \in Z^d}$ を中心とする一辺の長さが ${1}$ の立方体
${\kappa_d}$ は ${(d - 1)}$ 次元球面の表面積 ${|S_d|}$ で記述される定数

微分方程式と繰りこみ群

発展方程式の一番高い階の微分の係数 ${a_n}$ が小さいとき、 ${a_n}$ で摂動を考えると時間 ${t}$ に対して一次で発散する解（永年項）が出てしまう。

$\varepsilon\frac{d^2}{dt^2}y + \frac{d}{dt}y + y = 0$

${\varepsilon \gt 0}$
${t \ge 0}$

真の解は

$y = C_1\exp\left[-\frac{1 + \sqrt{1 - 4\varepsilon}}{2\varepsilon}t\right] + C_2\exp\left[-\frac{1 - \sqrt{1 - 4\varepsilon}}{2\varepsilon}t\right] \sim C_2\exp[-(1 + \varepsilon)t]$