物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

超重力理論

SGCライブラリ - 82

超重力理論

超弦理論における役割

谷井義彰 著

2011年4月25日 初版発行

序論

重力場

重力を表す力学変数として計量  {g_{\mu\nu}(x)} を使う。(計量形式)

重力場  {g_{\mu\nu}(x)} に対するラグランジアン

 {\displaystyle \mathcal{L} = \frac{1}{16\pi G}\sqrt{-g}(R - 2\Lambda)}

  • 第1項:Einstein 項
  • 第2項:宇宙項
  •  {G} は Newton 定数
  •  {\Lambda} は宇宙定数
  •  {g = \det g_{\mu\nu}}
  • スカラー曲率: {R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}}
  • Ricci テンソル: {R_{\mu\nu} = R_{\rho\mu}{}^{\rho}_{\nu}}
  • Riemann テンソル: {R_{\mu\nu}{}^{\rho}{}_{\sigma} = \partial_{\mu}\Gamma_{\nu\sigma}^{\rho} - \partial_{\nu}\Gamma_{\mu\sigma}^{\rho} + \Gamma_{\mu\lambda}^{\rho}\Gamma_{\nu\sigma}^{\lambda} - \Gamma_{\nu\lambda}^{\rho}\Gamma_{\mu\sigma}^{\lambda}}
  • Christoffel 記号: {\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda} = \frac{1}{2}g^{\lambda\rho}(\partial_{\mu}g_{\nu\rho} + \partial_{\nu}g_{\mu\rho} - \partial_{\rho}g_{\mu\nu})}

共変微分

  •  {D_{\mu}V^{\nu} = \partial_{\mu}V^{\nu} + \Gamma_{\mu\rho}^{nu}V^{\rho}}
  •  {D_{\mu}V_{\nu} = \partial_{\mu}V_{\nu} - \Gamma_{\mu\nu}^{\rho}V_{\rho}}

Einstein 方程式

 {\displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi GT_{\mu\nu}}

 {T_{\mu\nu}} は重力場以外の場のエネルギー・運動量テンソル

ラグランジアンは任意のベクトル関数  {\xi^{\mu}(x)} を変換パラメータとする無限小一般座標変換に対して、全微分の形の項だけ変化する。

 {\delta_Gg_{\mu\nu} = \xi^{\rho}\partial_{\rho}g_{\mu\nu} + \partial_{\mu}\xi^{\rho}g_{\rho\nu} + \partial_{\nu}\xi^{\rho}g_{\nu\rho} = D_{\mu}\xi_{\nu} + D_{\nu}\xi_{\mu}}

 {\delta_G\mathcal{L} = \partial_{\mu}(\xi^{\mu}\mathcal{L})}

重力場をスピノール場に結合させるには、多脚場形式による定式化を使う必要がある。

多脚場(vielbein) {e_{\mu}^a(x)}

  •  {e_a{}^{\mu}(x)e_b{}^{\nu}(x)g_{\mu\nu}(x) = \eta_{ab}}
  •  {\eta_{ab} = \mathrm{diag}(-1,+1,\dots,+1)}
  •  {e_{\mu}{}^a(x)e_a{}^{\nu}(x) = \delta_{\mu}^{\nu}}
  •  {e_a{}^{\mu}(x)e_{\mu}{}^b(x) = \delta_a^b}
  •  {g_{\mu\nu}(x) = e_{\mu}{}^a(x)e_{\nu}{}^b(x)\eta_{ab}}

局所 Lorentz 変換

  •  {e^{\prime}_{\mu}{}^a(x) = e_{\mu}{}^b(x)\Lambda_b{}^a(x)}
  •  {\Lambda_a{}^c(x)\Lambda_b{}^d(x)\eta_{cd} = \eta_{ab}}

多脚場で記述された重力理論は、一般座標変換と局所 Lorentz 変換に対する対称性を持っている。

局所 Lorentz 変換に対するゲージ場:スピン接続  {\omega_{\mu}{}^a{}_b(x)}

ベクトル  {V^a} に対する共変微分

 {D_{\mu}V^a = \partial_{\mu}V^a + \omega_{\mu}{}^a{}_bV^b}

スカラー場

非線形シグマ模型

 {\displaystyle \mathcal{L} = e\left[-\frac{1}{2}G_{ij}(\phi)g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi^i\partial_{\nu}\phi^j - V(\phi)\right]}

  •  {G_{ij}(\phi)} はスカラー場が値をとる空間の計量
  •  {V(\phi)} はスカラー場のポテンシャル

スカラー場の一般座標変換

 {\delta_G\phi^i = \xi^{\mu}\partial_{\mu}\phi^i}

スピノール場

スピノール場  {\psi(x)} は一般座標変換に対してはスカラー場として変換し、局所 Lorentz 変換に対しては以下のように変換。

 {\displaystyle \delta_L\psi = -\frac{1}{4}\lambda_{ab}\gamma^{ab}\psi}

  •  {\displaystyle \gamma^{ab} = \frac{1}{2}(\gamma^a\gamma^b - \gamma^b\gamma^a)}
  •  {\{\gamma^a,\gamma^b\} = 2\eta^{ab}}

重力場に結合した質量  {m} のスピノール場のラグランジアン

 {\mathcal{L} = -e\bar{\psi}\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi - me\bar{\psi}\psi}

  •  {\bar{\psi} = \psi^{\dagger}i\gamma^0}
  •  {\gamma^{\mu} = \gamma^ae_a{}^{\mu}}
  •  {\displaystyle D_{\mu}\psi = \left(\partial_{\mu} + \frac{1}{4}\omega_{\mu}{}^{ab}\gamma_{ab}\right)\psi}

Yang–Mills 場

ゲージ群  {G} に基づいた Yang–Mills 場は、ベクトル場  {A_{\mu}^I(x)} で表される。( {I = 1,2,\dots,\dim G}

 {A_{\mu}(x) = -igA_{\mu}^I(x)T_I}

  •  {g} は相互作用の強さを表すゲージ結合定数
  •  {[T_I,T_J] = if_{IJ}{}^KT_K}
  •  {\displaystyle \mathrm{tr}(T_IT_J) = \frac{1}{2}\delta_{IJ}}

Yang–Mills 場の場の強さ

 {F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} + [A_{\mu},A_{\nu}] = -igF_{\mu\nu}^IT_I}

Yang–Mills 場のラグランジアン

 {\displaystyle \mathcal{L} = \frac{1}{2g^2}eg^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}\mathrm{tr}(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}) = -\frac{1}{4}eg^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}F_{\mu\nu}^IF_{\rho\sigma}^I}

反対称テンソル場

 {n} 階の反対称テンソル場  {B_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}(x)} を考える。

場の強さを表す  {n + 1} 階のテンソル

 {F_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n+1}} = (n + 1)\partial_{[\mu_1}B_{\mu_2\cdots\mu_{n+1}}}

場の強さは反対称テンソル場のゲージ変換に対して不変。

 {\delta_gB_{\mu_1\cdots\mu_n} = n\partial_{[\mu_1}\zeta_{\mu_2\cdots\mu_n]}}

変換パラメータ  {\zeta_{\mu_1\cdots\mu_{n-1}}(x)} は、添字について完全反対称である以外は任意の関数。

  • Bianchi 恒等式: {\partial_{\mu}(e(\ast F)^{\mu_1\cdots\mu_{D - n - 1}}) = 0}
  • Hodge 双対: {\displaystyle (\ast F)^{\mu_1\cdots\mu_{D - n - 1}} = \frac{1}{(n + 1)!}e^{-1}\epsilon^{\mu_1\cdots\mu_{D - n - 1}\nu_1\cdots\nu_{n + 1}}F_{\nu_1\cdots\nu_{n + 1}}}

重力場以外との相互作用のない場合のゼロ質量のラグランジアン(Maxwell 型のラグランジアン)

 {\displaystyle \mathcal{L} = -\frac{1}{2(n + 1)!}eF_{\mu_1\cdots\mu_{n + 1}}F^{\mu_1\cdots\mu_{n + 1}}}

このラグランジアンから導かれる場の方程式

 {\partial_{\mu_1}(eF^{\mu_1\cdots\mu_{n + 1}}) = 0}

4次元の超重力理論

超代数と超多重項

非コンパクト対称性

高次元の超重力理論

次元還元

超重力理論の次元還元

アノマリー

ゲージ化された超重力理論