SGCライブラリ - 87

量子多体系の物理

量子現象の基礎を理解するために

藤本聡・川上則雄　共著

2011年12月25日　初版発行

量子多体論の基礎

量子多体系を理論的に取り扱うために、量子化された場で問題を定式化する。（第２量子化）

ボゾン

${N}$ 個の独立な調和振動子の集まり

$\mathcal{H} = \sum_j\hbar\omega_j\left(b^{\dagger}_jb_j + \frac{1}{2}\right)$

ボゾンの生成消滅演算子が満たす交換関係：

${[b_i,b_j^{\dagger}] = \delta_{ij}}$
${[b_i,b_j] = 0}$
${[b_i^{\dagger},b_j^{\dagger}] = 0}$

調和振動子の基底状態を ${|0\rangle}$ で表す。

${b_j|0\rangle = 0}$

調和振動子の固有エネルギーは ${E = \sum_j\hbar\omega_j(n_j + \frac{1}{2})}$ で, ${n_j}$ は非負の整数。

固有関数を ${|n_1,n_2,\dots,n_j,\dots\rangle}$ とすると、以下の関係が成り立つ。

${b_j^{\dagger}b_j|n_1,n_2,\dots,n_j,\dots\rangle = n_j|n_1,n_2,\dots,n_j,\dots,\rangle}$
${b_j|n_1,n_2,\dots,n_j,\dots\rangle = \sqrt{n_j}|n_1,n_2,\dots,n_j - 1,\dots\rangle}$
${b_j^{\dagger}|n_1,n_2,\dots,n_j,\dots\rangle = \sqrt{n_j + 1}|n_1,n_2,\dots,n_j + 1,\dots\rangle}$

フェルミオン

フェルミオンの生成消滅演算子が満たす反交換関係：

${\{c_i,c_j^{\dagger}\} = \delta_{ij}}$
${\{c_i,c_j\} = 0}$
${\{c_i^{\dagger},c_j^{\dagger}\} = 0}$

フェルミオンでは同じ状態を２つの粒子が占有することはできない。

${c_j|0\rangle = 0}$

${(c_j^{\dagger})^2|0\rangle = 0}$

フェルミ粒子が ${j}$ 番目の状態を占有している状態を ${|\dots,1_j,\dots\rangle}$ 、占有していない状態を ${|\dots,0_j,\dots\rangle}$ などと表す。

${c_j^{\dagger}c_j|\dots,1_j,\dots\rangle = |\dots,1_j,\dots\rangle}$
${c_j|\dots,1_j,\dots\rangle = |\dots,0_j,\dots\rangle}$
${c_j^{\dagger}|\dots,0_j,\dots\rangle = |\dots,1_j,\dots\rangle}$

経路積分

相互作用する多粒子系の第２量子化されたハミルトニアンを考える。

$\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k,\sigma}\varepsilon_kc_{k\sigma}^{\dagger}c_{k\sigma} + \frac{1}{N}\sum_{k,k^{\prime},q}U(k,k^{\prime},q)c_{k^{\prime} + q\sigma}^{\dagger}c_{k - q\sigma^{\prime}}^{\dagger}c_{k\sigma^{\prime}}c_{k^{\prime}\sigma}$

${c_{k\sigma}}$ （ ${c_{k\sigma}^{\dagger}}$ ）は波数 ${\mathbf{k}}$ 、スピン ${\sigma}$ のボゾンまたはフェルミオンの消滅（生成）演算子である。

この系の分配関数

${Z = \mathrm{tr}\,(e^{-\beta(\hat{\mathcal{H}} - \mu\hat{N})})}$

化学ポテンシャル ${\mu}$
粒子数演算子 ${\hat{N} = \sum_{k,\sigma}c_{k\sigma}^{\dagger}c_{k\sigma}}$
${\beta = 1/(k_{\mathrm{B}}T)}$

分配関数の経路積分表示

$Z = \int\mathcal{D}\psi^{\ast}\mathcal{D}\psi\exp\left(-\int_0^{\beta}d\tau\left[\sum_{\alpha}\psi_{\alpha}^{\ast}\partial_{\tau}\psi_{\alpha} + \mathcal{H}(\psi_{\alpha}^{\ast},\psi_{\alpha}) - \mu N\right]\right)$

量子スピン系

磁性体の典型的なモデルとして量子ハイゼンベルク模型を考える。

$\mathcal{H} = J\sum_{ij}\mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_j$

${J}$ はスピン間に働く交換相互作用の強さを表すパラメータ
${\mathbf{S}_i}$ は位置 ${i}$ に置かれた局在スピンの演算子
${[S_i^{\alpha},S_j^{\beta}] = i\epsilon_{\alpha\beta\gamma}S_i^{\gamma}\delta_{ij}}$
${S_i^{\pm} = S_i^x \pm iS_i^y}$
${[S_i^+,S_i^-] = 2S_i^z}$
${[S_i^z,S_i^{\pm}] = \pm S_i^{\pm}}$

スピン・コヒーレント状態

${|\theta_i,\phi_i\rangle = \left(\cos\frac{\theta_i}{2}\right)^{2S}\exp\left(\tan\frac{\theta_i}{2}e^{i\phi_i}S_i^-\right)|0\rangle}$

${S_i^z|0\rangle = S|0\rangle}$
${\langle\theta_i,\phi_i|\mathbf{S}_i|\theta_i,\phi_i\rangle = S\mathbf{\Omega}_i}$
${\mathbf{\Omega}_i = (\cos\phi_i\sin\theta_i,\sin\phi_i\sin\theta_i,\cos\theta_i)}$

分配関数の経路積分表示

$Z = \int\mathcal{D}\mathbf{\Omega}\,\exp\left[-\int_0^{\beta}d\tau\left\{iS\sum_i(1 - \cos\theta_i)\dot{\phi}_i + \mathcal{H}(S\mathbf{\Omega}_i)\right\}\right]$

くりこみ群の方法

フェルミオン系

スピン ${1 / 2}$ を持つフェルミ粒子が短距離相互作用している系を考える。

${S = S_0 + S_{\mathrm{int}}}$

$S_0 = \beta\sum_{k\sigma}\psi_{\sigma k}^{\dagger}(-i\varepsilon_n + \varepsilon_{\mathbf{k}} - \mu)\psi_{\sigma k}$

$S_{\mathrm{int}} = \frac{g\beta^2}{N}\sum_{k,k^{\prime},q}\psi_{\uparrow k^{\prime} + q}^{\dagger}\psi_{\downarrow k - 1}^{\dagger}\psi_{\downarrow k}\psi_{\uparrow k^{\prime}}$