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演習形式で学ぶリー群・リー環

物理数学

SGCライブラリ - 88

演習形式で学ぶリー群・リー環

示野信一　著

2012年3月25日　初版発行

回転群とその一般化

集合 {G} が群であるとは、 {G} の任意の {x,y \in G} に対してその積 {xy \in G} が定まっていて、次の３条件が成り立つことをいう：

  • 任意の {x,y,z \in G} に対して {(xy)z = x(yz)}
  • {e \in G} が存在して、すべての {x \in G} に対して {xe = ex = x} が成り立つ。
  • 任意の {x \in G} に対して、 {x^{-1}x = xx^{-1} = e} を満たす {x^{-1} \in G} が存在する。

直交群

{\mathbb{R}^n} 上の内積 {\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1y_1 + \cdots + x_ny_n} を保つ線形変換を直交変換と呼ぶ。

  • {M(n,\mathbb{R}) = \{A\,:} 実数を成分とする {n \times n} 行列 {\}}
  • {O(n) = \{A \in M(n,\mathbb{R})\,:\,{}^tAA = \mathbf{1}\}} （ {n} 次直交群）
  • {SO(n) = \{A \in O(n)\,:\,\det A = 1\}} （ {n} 次特殊直交群）

ユニタリ群

{\mathbb{C}^n} 上のエルミート内積 {(\mathbf{z},\mathbf{w}) = z_1\bar{w}_1 + \cdots + z_n\bar{w}_n} を保つ線形変換をユニタリ変換と呼ぶ。

  • {M(n,\mathbb{C}) = \{A\,:} 複素数を成分とする {n \times n} 行列 {\}}
  • {U(n) = \{A \in M(n,\mathbb{C})\,:\,A^{\ast}A = \mathbf{1}} （ {n} 次ユニタリ群）
  • {SU(n) = \{A \in U(n)\,:\,\det A = 1\}} （ {n} 次特殊ユニタリ群）

シンプレクティック群

{\mathbb{C}^{2n}} 上のシンプレクティック形式

{\displaystyle \omega(\mathbf{x},\mathbf{y}) = {}^t\mathbf{x}J_n\mathbf{y} = \sum_{j=1}^n(x_jy_{n+j} - x_{n+j}y_j)\quad (\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{C}^{2n})}

$$ J_n = \begin{pmatrix} 0 & \mathbf{1}_n \\ -\mathbf{1}_n & 0 \end{pmatrix} $$

{\omega} を保つ {\mathbb{C}^{2n}} のユニタリ変換全体の集合を {Sp(n)} とおく。

  • {Sp(n) = \{A \in U(2n)\,:\,{}^tAJ_nA = J_n\}} （ {n} 次シンプレクティック群）

一般線形群

{\mathbb{K} = \mathbb{R}} または {\mathbb{C}} とする。

  • {GL(n,\mathbb{K}) = \{A \in M(n,\mathbb{K})\,:\, \det A \neq 0\}} （一般線形群）
  • {SL(n,\mathbb{K}) = \{A \in M(n,\mathbb{K})\,:\,\det A = 1\}} （特殊線形群）

{G} が閉線形群であるとは、ある {n} に対して {G} が {GL(n,\mathbb{C})} の部分群であり、 {GL(n,\mathbb{C})} の閉部分集合であることをいう。

閉線形群は線形リー群または行列群と呼ばれることもある。

行列の指数関数

写像 {\exp: M(n,\mathbb{K} \to M(n,\mathbb{K}),\, X \mapsto \exp X)} を行列の指数関数または指数写像と呼ぶ。

{\displaystyle \exp X = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{X^k}{k!} = \mathbf{1} + X + \frac{X^2}{2} + \frac{X^3}{3!} + \cdots}

{A: \mathbb{R} \to GL(n,\mathbb{K})} が連続な準同型写像ならば、 {A(t) = \exp tX} となる {X \in M(n,\mathbb{K})} が一意的に存在する。

閉線形群のリー環

{t = 0} の近傍で定義され {A(0) = \mathbf{1}} を満たす {G} 内の滑らかな曲線 {A(t)} に対して

{\displaystyle A^{\prime}(0) = \lim_{t \to 0}\frac{A(t) - \mathbf{1}}{t}}

を {A(t)} の {\mathbf{1}} における接ベクトルと呼ぶ。

{A(0) = \mathbf{1}} を満たす {G} 内の滑らかな曲線 {A(t)} すべてに対する {\mathbf{1}} における接ベクトル全体の集合を {G} の {\mathbf{1}} における接空間と呼び、 {L(G)} と書く。

{L(GL(n,\mathbb{K})) = \mathfrak{gl}(n,\mathbb{K}) = M(n,\mathbb{K})}

{G} を閉線形群とするとき

  • {g \in G,\, Y \in L(G) \,\Rightarrow\, gYg^{-1} \in L(G)}
  • {X,Y \in L(G) \,\Rightarrow\, [X,Y] \in L(G)}

{M(n,\mathbb{K})} の部分空間

  • {\mathfrak{so}(n) = \{X \in M(n,\mathbb{R})\,:\,{}^tX + X = 0\}}
  • {\mathfrak{so}(n,\mathbb{C}) = \{X \in M(n,\mathbb{C})\,:\,{}^tX + X = 0\}}
  • {\mathfrak{u}(n) = \{X \in M(n,\mathbb{C})\,:\,X^{\ast} + X = 0\}}
  • {\mathfrak{sp}(n) = \{X \in \mathfrak{u}(2n)\,:\,{}^tXJ_n + J_nX = 0\}}
  • {\mathfrak{sl}(n,\mathbb{K}) = \{X \in M(n,\mathbb{K})\,:\,\mathrm{Tr}\,X = 0\}}
  • {\mathfrak{su}(n) = \mathfrak{sl}(n,\mathbb{C}) \cap \mathfrak{u}(n) = \{X \in M(n,\mathbb{C})\,:\,X^{\ast} + X = 0,\,\mathrm{Tr}\,X = 0\}}
  • {\mathfrak{sp}(n,\mathbb{K}) = \{X \in M(2n,\mathbb{K})\,:\,{}^tXJ_n + XJ_n = 0\}}

{\mathfrak{g} = L(G) = \{X \in M(n,\mathbb{K})\,:\,\exp tX \in G\,({}^{\forall} t \in \mathbb{R})\}}

標数ゼロの可換な体 {\mathbb{K}} 上の線形空間 {\mathfrak{g}} と、 {\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}} から {\mathfrak{g}} への写像 {(X,Y) \mapsto [X,Y]} が次の３条件を満たすとき、 {\mathfrak{g}} は {\mathbb{K}} 上のリー環またはリー代数であるという。

  • 任意の {Y \in \mathfrak{g}} に対して {X \mapsto [X,Y],\,X \mapsto [Y,X]} は {\mathfrak{g}} の線形変換である。
  • 任意の {X \in \mathfrak{g}} に対して {[X,X] = 0}
  • ヤコビ恒等式： {[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0\,({}^{\forall}X,Y,Z \in \mathfrak{g})}

２つのリー環 {\mathfrak{g},\mathfrak{g}^{\prime}} の間の線形写像 {f: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}^{\prime}} が任意の {X,Y \in \mathfrak{g}} に対して {f([X,Y]) = [f(X),f(Y)])} を満たすとき、 {f} は準同型写像であるという。

２つのリー環 {\mathfrak{g},\mathfrak{g}^{\prime}} が同型であるとは、準同型写像 {f: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}^{\prime}} であって全単射であるものが存在することをいう。（同型写像）

ライプニッツの規則

{D(xy) = D(x)y + xD(y)\quad (x,y \in R)}

を満たす {R} の線形変換を {R} の微分と呼び、 {R} の微分全体の集合を {\mathrm{Der}( R )} と書く。

{\mathfrak{g}} の随伴表現 {\mathrm{ad}: \mathfrak{g} \to \mathrm{Der}(\mathfrak{g})} を以下により定義する。

{\mathrm{ad}\,X(Y) = [X,Y]\quad (Y \in \mathfrak{g})}

  • {X \in \mathfrak{g}} に対して {\mathrm{ad}\,X \in \mathrm{Der}(\mathfrak{g})}
  • {\mathrm{ad}\,[X,Y] = [\mathrm{ad}\,X,\mathrm{ad}\,Y]\quad (X,Y \in \mathfrak{g})}

リー環 {\mathfrak{g}} の線形部分空間 {\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}} がイデアルであるとは、以下を満たすことをいう。

{X \in \mathfrak{g},\,Y \in \mathfrak{h} \,\Rightarrow\, [X,Y] \in \mathfrak{h}}

リー環 {\mathfrak{g}} が {\{0\}} と {\mathfrak{g}} 以外のイデアルを持たず、さらに可換でないとき、 {\mathfrak{g}} は単純であるという。

古典型単純リー環

  • {\mathfrak{sl}(n + 1,\mathbb{C})\quad (n \ge 1)}
  • {\mathfrak{o}(2n + 1,\mathbb{C})\quad (n \ge 2)}
  • {\mathfrak{sp}(n,\mathbb{C})\quad (n \ge 2)}
  • {\mathfrak{o}(2n,\mathbb{C})\quad (n \ge 4)}

３次元空間の回転

３次回転群 {SO(3)} のリー環 {\mathfrak{so}(3)} は３次実交代行列全体の集合

$$ J_x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ,\quad J_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,\quad J_z = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

  • {[J_x,J_y] = J_z}
  • {[J_y,J_z] = J_x}
  • {[J_z,J_x] = J_y}

線形群の位相

閉線形群の間の準同型写像

{SU(2)} と {\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})} の表現

極大トーラス