SGCライブラリ - 89

弦理論の代数的基礎

環・加群・圏から位相的弦理論，ミラー対称性へ

高橋篤史　著

2012年4月25日　初版発行

環論の基礎

${+: R \times R \to R,\quad (x,y) \mapsto x + y}$
${\cdot: R \times R \to R,\quad (x,y) \mapsto x \cdot y}$

これらが以下の性質をみたすとき、集合 ${R}$ を環（ring）という。

${(R,+)}$ は単位元 ${0_R}$ を持つ加法群である。
積 ${\cdot}$ について分配法則が成立する。
${(R,\cdot)}$ は単位元 ${1_R}$ を持つ半群である。

任意の ${x,y \in R}$ に対して ${x \cdot y = y \cdot x}$ となるとき、環 ${R}$ を可換環（commutative ring）という。

任意の ${x,y \in R}$ に対して二項演算 ${\cdot_{op}}$ を ${x \cdot_{op} y := y \cdot x}$ で与えると、 ${\cdot_{op}}$ は加法群 ${(R,+)}$ に積を定める。このようにして得られる環を ${R^{op}}$ であらわし、 ${R}$ の反転環（opposite ring）という。

写像 ${\phi: R \to S}$ が以下をみたすとき、 ${\phi}$ は環 ${R}$ から環 ${S}$ への環準同型（ring homomorphism）であるという。

${\phi(x + y) = \phi(x) + \phi(y),\quad x,y \in R}$
${\phi(x \cdot y) = \phi(x) \cdot \phi(y),\quad x,y \in R}$
${\phi(1_R) = 1_S}$

${R}$ から ${S}$ への環準同型全体のなす集合を ${\mathbf{ring}(R,S)}$ であらわす。

${\mathbf{ring}(\mathbb{R}[x,y]/(x^2 + y^2 - 1),\mathbb{R}) \simeq \{(x,y) \in \mathbb{R}^2\,|\, x^2 + y^2 = 1\}}$

${R}$ から ${S}$ への環準同型とは「テスト空間 ${S}$ による標的空間 ${R}$ への衝突実験」のようなものである。

${k}$ を可換環とする。

環準同型 ${k \to Z( R ) \hookrightarrow R}$ が与えられた環 ${R}$ のことを ${k}$ -代数（k-algebra）という。

${R}$ -加群（R-module） ${M}$ とは以下で構成されるものである。

単位元 ${0_M}$ を持つ加法群 ${(M,+)}$
積と呼ばれる写像で以下の等式をみたすもの：
- ${(m + n) \cdot x = m \cdot x + n \cdot x,\quad m,n \in M,\quad x \in R}$
- ${m \cdot (x + y) = m \cdot x + m \cdot y,\quad m \in M,\quad x,y \in R}$
- ${m \cdot (x \cdot y) = (m \cdot x) \cdot y,\quad m \in M,\quad x,y \in R}$
- ${m \cdot 1_R = m,\quad m \in M}$

${M, N}$ を ${R}$ -加群とする。

写像 ${f: M \to N}$ が以下の等式をみたすとき、 ${f}$ は ${M}$ から ${N}$ への ${R}$ -準同型（R-homomorphisim）である。

${f(m + n) = f(m) + f(n),\quad m,n \in M}$
${f(m) \cdot x = f(m \cdot x),\quad m \in M,\quad x \in R}$

${M}$ から ${N}$ への ${R}$ -準同型全体のなす集合を ${\mathrm{Hom}_R(M,N)}$ であらわす。

${f: M \to N}$ を ${R}$ -準同型とする。

${f}$ が集合の写像として単写像のとき、 ${f}$ は単写（injective）であるという。
${f}$ が集合の写像として全写像のとき、 ${f}$ は全射（surjective）であるという。
${f}$ に対して、 ${R}$ -準同型 ${g: N \to M}$ で ${f \circ g = \mathrm{id}_N}$ および ${g \circ f = \mathrm{id}_M}$ が成立するものが存在するとき、 ${f}$ を ${R}$ -同型（ ${R}$ -isomorphism）という。
${R}$ -加群 ${\{m \in M\,|\,f(m) = 0\}}$ を ${f}$ の核（kernel）といい、 ${\mathrm{Ker}(f)}$ であらわす。
${R}$ -加群 ${\{n \in N\,|\,n = f(m)}$ となる ${m \in M}$ が存在する ${\}}$ を ${f}$ の像（image）といい、 ${\mathrm{Im}(f)}$ であらわす。
${R}$ -加群 ${N/\mathrm{Im}(f)}$ を ${f}$ の余核（cokernel）といい、 ${\mathrm{Cok}(f)}$ であらわす。
${R}$ -加群 ${M/\mathrm{Ker}(f)}$ を ${f}$ の余像（coimage）といい、 ${\mathrm{Coim(f)}}$ であらわす。

${f: M \to N}$ を ${R}$ -準同型としたとき、自然な ${R}$ -準同型 ${\tilde{f}: \mathrm{Coim}(f) \to \mathrm{Im}(f)}$ は同型である。（準同型定理）

${\{M_i\}_{i \in I}}$ を集合 ${I}$ で添え字づけられた ${R}$ -加群の族とする。

${\{M_i\}_{i \in I}}$ の積（product）： ${\prod_{i \in I}M_i := \{(m_i)_{i \in I}\,|\,m_i \in M_i\}}$
${\{M_i\}_{i \in I}}$ の余積（coproduct）： ${\coprod_{i \in I}M_i := \{(m_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I}M_i\,|}$ 有限個の ${i \in I}$ を除いて ${m_i = 0\}}$

とくに ${I = \{1,2\}}$ のとき、 ${\prod_{i \in I}M_i}$ を ${M_1 \prod M_2}$ 、 ${\coprod_{i \in I}M_i}$ を ${M_1 \coprod M_2}$ とあらわす。

集合 ${\Lambda}$ で添え字づけられた ${M}$ の元の集合 ${\{m_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}}$ および ${R}$ -同型 ${M \simeq \coprod_{\lambda \in \Lambda}m_iR}$ が存在するとき、 ${M}$ は自由（free）であるという。

${E( R ) := \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(R,\mathbb{Q}/Z)}$ とおく。

集合 ${\Lambda}$ で添え字づけられた ${M}$ の元の集合 ${\{m_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}}$ および ${R}$ -同型 ${M \simeq \coprod_{\lambda \in \Lambda}m_{\lambda}E( R )}$ が存在するとき、 ${M}$ は余自由（cofree）であるという。

テンソル積

${M}$ を ${R}$ -加群、 ${N}$ を ${R^{op}}$ -加群とする。

直積集合 ${M \times N}$ で添え字づけられた自由 ${k}$ -加群 ${T := \coprod_{(m,n) \in M \times N}e_{(m,n)}k}$ を考える。

以下で与えられる ${T}$ の元で生成される部分 ${k}$ -加群を ${S}$ とする：

${e_{(m,n + n^{\prime})} - e_{(m,n)} - e_{(m,n^{\prime})},\quad m \in M,\quad n,n^{\prime} \in N}$
${e_{(m + m^{\prime},n)} - e_{(m,n)} - e_{(m^{\prime},n)},\quad m,m^{\prime} \in M,\quad n \in N}$
${e_{(mx,n)} - e_{(m,xn)},\quad m \in M,\quad n \in N,\quad x \in R}$

このとき、 ${k}$ -加群 ${T/S}$ を ${M}$ と ${N}$ の ${R}$ 上のテンソル積（tensor product over ${R}$ ）といい、 ${M \otimes_R N}$ であらわす。

また、元 ${e_{(m,n)}}$ の ${M \otimes_R N}$ における像を ${m \otimes n}$ であらわす。

圏と函手

圏（category） ${\mathcal{C}}$ は以下のもので構成される：

対象（object）の集合 ${Ob(\mathcal{C})}$ および射（morphism）の集合 ${Mor(\mathcal{C})}$
写像 ${i_{\mathcal{C}}: Ob(\mathcal{C}) \to Mor(\mathcal{C})}$ および写像 ${s_{\mathcal{C}}, t_{\mathcal{C}}: Mor(\mathcal{C}) \to Ob(\mathcal{C})}$ で、 ${s_{\mathcal{C}} \circ i_{\mathcal{C}} = \mathrm{id}_{Ob(\mathcal{C})}}$ かつ ${t_{\mathcal{C}} \circ i_{\mathcal{C}} = \mathrm{id}_{Ob(\mathcal{C})}}$ となるもの
任意の対象に対して定まる合成写像（composition map）：
- 結合法則：任意の射 ${f \in \mathcal{C}(X,Y), g \in \mathcal{C}(Y,Z), h \in \mathcal{C}(Z,W)}$ に対して、 ${h \circ_{\mathcal{C}} (g \circ_{\mathcal{C}} f) = (h \circ_{\mathcal{C}} g) \circ_{\mathcal{C}} f}$ が成立する。
- 単位法則：任意の射 ${f \in \mathcal{C}(X,Y)}$ および ${g \in \mathcal{C}(Z,X)}$ に対して、 ${f \circ_{\mathcal{C}} \mathrm{id}_X = f}$ および ${\mathrm{id}_X \circ_{\mathcal{C}} g = g}$ が成立する。