SGCライブラリ - 90

アインシュタイン方程式

一般相対性理論のよりよい理解のために

白水徹也　著

2012年5月25日　初版発行

相対性理論とリーマン幾何学

特殊相対性原理：慣性系同士の移り変わりで物理法則は変更を受けない。
一般相対性原理：どの座標系からみても物理法則は不変である。
等価原理：局所的にはミンコフスキー時空になる。

ミンコフスキー時空

事象の２点間の距離（計量）

${ds^2 = -(dx^0)^2 + \delta_{ij}dx^idx^j =: \eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}$

$$ \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

この空間の計量を不変に保つ線形変換 ${x^{\prime\mu} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu}}$ をローレンツ変換と呼ぶ。

${\eta^{\prime}_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\Lambda^{\nu}{}_{\beta} = \eta_{\alpha\beta}}$

リーマン幾何学

微小間隔離れた２点間の距離

${ds^2 = g_{\mu\nu}(x)dx^{\mu}dx^{\nu}}$

${g_{\mu\nu}(x)}$ を計量テンソルと呼ぶ。

共変ベクトル ${V_{\mu}}$ の微小距離の平行移動

${\tilde{V}_{\mu}(x + \Delta x) = V_{\mu}(x) + \Gamma^{\nu}_{\mu\rho}(x)\Delta x^{\rho}V_{\nu}(x)}$

${\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}}$ ：クリストッフェル記号

共変微分 ${\nabla_{\mu}V_{\nu}}$ がテンソルとしてふるまうように ${\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}}$ の変換則を決める。

$\nabla_{\mu}V_{\nu} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{V_{\nu}(x + \Delta x) - \tilde{V}_{\nu}(x + \Delta x)}{\Delta x^{\mu}} = \partial_{\mu}V_{\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}V_{\alpha}$

$\nabla^{\prime}_{\mu}V^{\prime}_{\nu} = \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\prime\mu}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\prime\nu}}\nabla_{\alpha}V_{\beta}$

$\Gamma^{\prime\sigma}_{\mu\nu} = \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\prime\mu}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\prime\nu}}\frac{\partial x^{\prime\sigma}}{\partial x^{\rho}}\Gamma^{\rho}_{\alpha\beta} + \frac{\partial^2x^{\rho}}{\partial x^{\prime\mu}\partial x^{\prime\nu}}\frac{\partial x^{\prime\sigma}}{\partial x^{\rho}}$

すべての点に対して ${\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} = 0}$ となる座標系が必ず存在することは ${\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}}$ が成り立つことと等価である。

要請１： ${\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} = \Gamma^{\sigma}_{\nu\mu}}$ を課す。（等価原理）
要請２：平行移動を行う際に、ベクトルの大きさは不変に保たれる。

${g^{\mu\nu}(x + \Delta x)\tilde{V}(x + \Delta x)\tilde{V}_{\nu}(x + \Delta x) = g^{\mu\nu}(x)V_{\mu}(x)V_{\nu}(x)}$

${\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}g^{\alpha\beta}(\partial_{\mu}g_{\beta\nu} + \partial_{\nu}g_{\beta\mu} - \partial_{\beta}g_{\mu\nu})}$

リーマンテンソル

時空の曲がり具合を測る共変的な量の導入

${(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu} - \nabla_{\nu}\nabla_{\mu})A_{\alpha} = R_{\mu\nu\alpha}{}^{\beta}A_{\beta}}$

${R_{\mu\nu\alpha}{}^{\beta} = \partial_{\nu}\Gamma^{\beta}_{\mu\alpha} - \partial_{\mu}\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha} + \Gamma^{\rho}_{\mu\alpha}\Gamma^{\beta}_{\nu\rho} - \Gamma^{\rho}_{\nu\alpha}\Gamma^{\beta}_{\mu\rho}}$

物理ノート

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厳密解

時空の分解

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エネルギー、運動量、角運動量

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