超弦理論の応用
SGCライブラリ - 93
超弦理論の応用
物理諸分野での AdS/CFT 双対性の使い方
夏梅誠 著
2012年9月25日 初版発行
一般相対論とブラックホール
物質場がないときのアインシュタイン方程式
シュワルツシルド・ブラックホール
- は半径 の の面積要素
- で計量は平坦な時空 に近づく。
- はブラックホールの質量を表す。
- 計量 となる がホライズンである。
- は時空特異点と呼ばれ、重力が無限に強くなる。
クリスカル座標
- で計量に特異性はない。 には特異性が残る。
- ヌル世界線 は である。
- 定数の線は、双曲線である。
- のホライズンはヌル世界面である。つまり、ホライズンは光円錐そのものである。
- では、 定数の線は空間的になる。
- 定数の線は直線である。特に、 は である。
ホライズンに落ちた粒子は逃れられず、必然的に特異点に到達する。
ブラックホールと熱力学
物質がブラックホールに落ち込むと、ホライズンの面積は増大する。
ブラックホールはたとえ当初は非対称な形をしていても、最終的には球対称なものに帰着する。
ホライズン での重力加速度を表面重力 という。
物質の量子効果を考えると、ブラックホールは黒体放射を起こす。(ホーキング放射)
熱力学の第1法則 との比較により、ブラックホール・エントロピー が得られる。
- プランク長さ:
強い相互作用とゲージ理論
ラージ ゲージ理論
ゲージ理論で が大きい場合を考える。
理論の独立なパラメータとして とトホーフト結合定数 を使う。
ラージ 極限: を大きな値に固定しつつ
場の理論を使って振幅を求めるためのファインマン・ルール:
- プロパゲーターには の因子を付与する。
- 相互作用を表す「頂点」には の因子を付与する。
- 「ループ」には の因子を付与する。
頂点の数を 、プロパゲーターの数を 、ループの数を とすると
ラージ 極限では、平面上に書ける(プラナー)ダイアグラムが支配的になる。
プロパゲーターの数 、ループの数 をそれぞれ2次元面の辺の数、面の数としてみると、 のベキはオイラー標数 であり、トポロジカル不変量である。
ハンドルの数(ジーナス)を とすると、
真空ダイアグラムの足し上げは分配関数:
ラージ 極限では、分配関数は2次元面のトポロジーの足し上げとして表される。
弦理論の摂動展開も、2次元面のトポロジーの足し上げとして表されるので、2つの理論は同等で分配関数も等価だと考えられる: