物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

クォーク・ハドロン物理学入門

SGCライブラリ - 100

クォーク・ハドロン物理学入門

真空の南部理論を基礎として

国広悌二 著

2013年9月10日 初版発行

場の解析力学と量子場の変換則

 {n} 個のスカラー場  {\phi(x) = \phi(\mathbf{x};t) = {}^t(\phi_1,\phi_2,\dots,\phi_n) = (\phi_i)} に対する変換:

 {\phi \to \phi^{\prime} = e^{iT\cdot\alpha}\phi}

  •  {[T^a,T^b] = iC_{abc}T^c}
  •  {C_{abc}} はリー環  {g} の基本構造定数

時空間に依存したパラメータ  {\alpha_a(x)} に依存する変換:

 {\phi_i(x) \to \phi_i(x) + \delta\phi_i(x) \equiv \phi_i(x) + i(T^b)_{ij}\alpha_b(x)\phi_j(x)}

変換によって引き起こされるラグランジアンの変化:

$$ \begin{align} \delta\mathcal{L} &= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_i(x)}\delta\phi_i(x) + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_i(x))}\delta(\partial_{\mu}\phi_i(x)) \\ & = \partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_i(x))}\delta\phi_i(x)\right) \\ & = \partial_{\mu}\left(i\alpha_b(x)\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_i(x))}(T^b)_{ij}\phi_j(x)\right) \end{align} $$

パラメータ関数  {\alpha_a(x)} が座標に依存しない場合:

  •  {\partial^{\mu}j_{\mu}^b(x) = 0}
  •  {\displaystyle j_{\mu}^b(x) = -i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_i(x))}(T^b)_{ij}\phi_j(x)}

ネーターの定理

場の変換に対して作用が不変の場合、保存カレントが存在する。

電荷演算子: {\displaystyle Q^b(t) \equiv \int d^3\mathbf{x}\,j_0^b(x) = -i(T^b)_{ij}\int d^3\mathbf{x}\,\pi^i(x)\phi_j(x)}

  •  {[Q^a,Q^b] = iC_{abc}Q^c}
  •  {[iQ^b(t),\phi_i(x)] = -i(T^b)_{ij}\phi_j(x)}

電荷演算子  {Q_b} が変換の生成子となっている。

 {\alpha_b(x)} が座標依存性を持っている場合:

 {\delta\mathcal{L} = -\alpha_b(x)(\partial^{\mu}j_{\mu}^b(x)) - j_{\mu}^b(x)(\partial^{\mu}\alpha_b(x))}

  •  {\displaystyle j_{\mu}^b(x) = -\frac{\partial\delta\mathcal{L}}{\partial(\partial^{\mu}\alpha_b(x))}}
  •  {\displaystyle \partial^{\mu}j_{\mu}^b(x) = -\frac{\partial\delta\mathcal{L}}{\partial\alpha_b(x)}}

QCD の基本的性質

QCD の運動項:

 {\mathcal{L}_{\mathrm{QCD}}^{(0)} = \bar{q}i\gamma^{\mu}D_{\mu}q = \bar{q}_Li\gamma^{\mu}D_{\mu}q_L + \bar{q}_Ri\gamma^{\mu}D_{\mu}q_R}

カイラル変換  {U_L(3) \otimes U_R(3) \simeq (U_L(1) \otimes U_R(1)) \otimes SU_L(3) \otimes SU_R(3)} に対応するネーターカレントを構成する。

  •  {\displaystyle \partial_{\mu}(\bar{q}\gamma^{\mu}\lambda^{\alpha}q) = i\sum_{i,j}(m_i - m_j)\bar{q}_i\lambda^{\alpha}q_j}
  •  {\displaystyle \partial_{\mu}(\bar{q}\gamma^{\mu}\gamma^5\lambda^{\alpha}q) = i\sum_{i,j}(m_i + m_j)\bar{q}_i\lambda^{\alpha}q_j}
  •  {\displaystyle \partial_{\mu}(\bar{q}\gamma^{\mu}\gamma^5q) = i\sum_i2m_i\bar{q}_i\gamma^5q_i}

古典論で成り立つ保存則は量子効果により破れる(量子異常)

  •  {\displaystyle \partial_{\mu}(\bar{q}\gamma^{\mu}\gamma^5q) = i\sum_i2m_i\bar{q}_i\gamma^5q_i + 2N_F\frac{g^2}{32\pi^2}F_{\mu\nu}^a\tilde{F}_a^{\mu\nu}}
  •  {\displaystyle \tilde{F}_a^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}F_{a\lambda\rho}}

自発的対称性の破れ

軸性異常項を含む線型シグマ模型

QCD のカイラル有効模型としての NJL 模型

有限温度・密度の場合

クォーク数感受率と密度ゆらぎ