物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

統計力学から理解する超伝導理論

SGCライブラリ - 101

統計力学から理解する超伝導理論

北孝文 著

2013年9月25日 初版発行

熱・統計力学のまとめ

  • 熱力学第一法則
    •  {dU = d^{\prime}Q + d^{\prime}W}
    •  {U}:内部エネルギー
    •  {d^{\prime}Q}:外部から加えられる微小熱量
    •  {d^{\prime}W}:外部から加えられる微小仕事
  • 熱力学第二法則
    •  {d^{\prime}Q \le TdS}
    •  {S}:エントロピー
    •  {T}:絶対温度
  • 熱力学第三法則
    •  {\lim_{T \to 0}S = 0}

量子力学に従う多粒子・多自由度系の取り得る状態は離散的な量子数  {\nu} で指定され、各状態が確率  {w_{\nu}} で出現する。

エントロピーの統計力学的表式:

  • エントロピー  {S} は確率  {w_{\nu}} のみの関数: {S = \sum_{\nu}f(w_{\nu})}
  • エントロピーは示量変数: {S^{(1 + 2)} = S^{(1)} + S^{(2)}}
  • 部分系  {j = 1,2} の確率論的独立性: {w_{(\nu_1,\nu_2)}^{(1 + 2)} = w_{\nu_1}^{(1)}w_{\nu_2}^{(2)}}

 {\displaystyle S = -k_B\sum_{\nu}w_{\nu}\ln w_{\nu}}

ミクロカノニカル分布

一定の体積  {V} を持ち、外界と熱的・力学的相互作用のない「孤立系」を考える。

  • 系のエネルギー  {U} と粒子数  {N} は一定。
  • 状態数  {W = W(U,V,N)}
  • 平衡確率分布  {\displaystyle w_{\nu} = \frac{1}{W}}
  • エントロピー  {S = k_B\ln W}

カノニカル分布

一定の体積  {V} を持ち、外界との間に熱のやりとりがある「閉じた系」を考える。

  • 系のエネルギー期待値  {U = \sum_{\nu}w_{\nu}\mathcal{E}_{\nu}} は一定。
  • 分配関数  {Z(T,V,N) = \sum_{\nu}e^{-\beta\mathcal{E}_{\nu}}}
  • 平衡確率分布  {\displaystyle w_{\nu} = \frac{e^{-\beta\mathcal{E}_{\nu}}}{Z}}
  • 自由エネルギー  {\displaystyle F = -\frac{1}{\beta}\ln Z}

グランドカノニカル分布

外界との間に、熱に加えて粒子のやりとりがある「開いた系」を考える。

  • 系のエネルギー期待値  {U = \sum_{\nu}w_{\nu}\mathcal{E}_{\nu}} は一定。
  • 系の粒子数期待値  {N = \sum_{\nu}w_{\nu}\mathcal{N}_{\nu}} は一定。
  • 大分配関数  {Z_G(T,V,\mu) = \sum_{\nu}e^{-\beta(\mathcal{E}_{\nu} - \mu\mathcal{N}_{\nu})}}
  • 平衡確率分布  {\displaystyle w_{\nu} = \frac{e^{-\beta(\mathcal{E}_{\nu} - \mu\mathcal{N}_{\nu})}}{Z_G}}
  • 熱力学ポテンシャル  {\displaystyle \Omega = -\frac{1}{\beta}\ln Z_G}

同種多粒子系の量子力学

 {N} 粒子系の波動関数  {\Phi_{\nu}(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_N)}

 {\hat{P}\Phi_{\nu}(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_N) = \sigma^P\Phi_{\nu}(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_N)}

  • 置換  {\hat{P}}
  • 偶置換  {\sigma^P \equiv 1}
  • 奇置換  {\sigma^P \equiv \sigma}
  • ボーズ粒子  {\sigma = + 1}
  • フェルミ粒子  {\sigma = -1}

第二量子化法

場の演算子  {\hat{\psi},\,\hat{\psi}^{\dagger}} を定義する。

  •  {[\hat{\psi}(\xi),\hat{\psi}^{\dagger}(\xi^{\prime})]_{\sigma} \equiv \hat{\psi}(\xi)\hat{\psi}^{\dagger}(\xi^{\prime}) - \sigma\hat{\psi}^{\dagger}(\xi^{\prime})\hat{\psi}(\xi) = \delta(\xi,\xi^{\prime})}
  •  {[\hat{\psi}(\xi),\hat{\psi}(\xi^{\prime})]_{\sigma} = [\hat{\psi}^{\dagger}(\xi),\hat{\psi}^{\dagger}(\xi^{\prime})]_{\sigma} = 0}

状態ベクトル:

  •  {\hat{\psi}(\xi)|0\rangle = 0}
  •  {\langle 0|\hat{\psi}^{\dagger}(\xi) = 0}
  •  {\displaystyle |\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_N\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{N!}}\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_1)\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_2)\cdots\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_N)|0\rangle}
  •  {\displaystyle \langle \xi_1\xi_2\cdots\xi_N| \equiv \frac{1}{\sqrt{N!}}\langle 0|\hat{\psi}(\xi_N)\cdots\hat{\psi}(\xi_2)\hat{\psi}(\xi_1)}

ハミルトニアン:

 {\displaystyle \hat{H} = \int d\xi_1\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_1)\frac{\hat{\mathbf{p}}_1^2}{2m}\hat{\psi}(\xi_1) + \frac{1}{2}\int d\xi_1\int d\xi_2\,\mathcal{V}(|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|)\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_1)\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_2)\hat{\psi}(\xi_2)\hat{\psi}(\xi_1)}

シュレーディンガー方程式:

 {\hat{H}|\Phi_{\nu}\rangle = \mathcal{E}_{\nu}|\Phi_{\nu}\rangle}

 {\displaystyle |\Phi_{\nu}\rangle = \int d\xi_1\cdots\int d\xi_N\,|\xi_1\cdots\xi_N\rangle\Phi_{\nu}(\xi_1,\dots,\xi_N)}

相互作用のない同種多粒子系を考える。

 {\displaystyle \hat{H}_0 \equiv \int d\xi\,\hat{\psi}^{\dagger}(\xi)\left[\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} + \mathcal{U}(\mathbf{r})\right]\hat{\psi}(\xi)}

  • 外部ポテンシャル  {\mathcal{U}(\mathbf{r})}

対応する一粒子ハミルトニアンの固有値問題:

 {\displaystyle \left[\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} + \mathcal{U}(\mathbf{r})\right]\varphi_q(\xi) = \varepsilon_q(\xi)}

  •  {\displaystyle \hat{\psi}(\xi) = \sum_q\hat{c}_q\varphi_q(\xi)}
  •  {\displaystyle \hat{\psi}^{\dagger}(\xi) = \sum_q\hat{c}_q^{\dagger}\varphi_q^{\ast}(\xi)}
  •  {[\hat{c}_q,\hat{c}_{q^{\prime}}^{\dagger}]_{\sigma} = \delta_{qq^{\prime}}}
  •  {[\hat{c}_q,\hat{c}_{q^{\prime}}]_{\sigma} = [\hat{c}_q^{\dagger},\hat{c}_{q^{\prime}}^{\dagger}]_{\sigma} = 0}

 {\displaystyle \hat{H}_0 = \sum_q\varepsilon_q\hat{c}_q^{\dagger}\hat{c}_q}

固有状態  {|\Psi_{\nu}\rangle} は、各一粒子状態  {q} を占める粒子数  {n_q} により指定される。

 {\displaystyle |\Psi_{\nu}\rangle \equiv |n_{q_1},n_{q_2},\dots\rangle \equiv \frac{(\hat{c}_{q_1}^{\dagger})^{n_{q_1}}}{\sqrt{n_{q_1}!}}\frac{(\hat{c}_{q_2}^{\dagger})^{n_{q_2}}}{\sqrt{n_{q_2}!}}\cdots|0\rangle}

  • ボーズ粒子: {n_q = 0,1,2,\dots}
  • フェルミ粒子: {n_q = 0,1}

量子理想気体の統計力学

一粒子状態  {q} を占有する平均粒子数:

 {\displaystyle \bar{n}_q \equiv \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_q - \mu) - \sigma}}}

  • ボーズ分布: {\sigma = 1}
  • フェルミ分布: {\sigma = -1}

一粒子エネルギー状態密度:

 {\displaystyle D(\epsilon) \equiv \sum_q\delta(\epsilon - \varepsilon_q)}

  • 平均粒子数  {\displaystyle N = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{D(\epsilon)}{e^{\beta(\epsilon - \mu) - \sigma}}d\epsilon}
  • 内部エネルギー  {\displaystyle U = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{D(\epsilon)\epsilon}{e^{\beta(\epsilon - \mu) - \sigma}}d\epsilon}

ゾンマーフェルト展開:

 {\displaystyle I \equiv \int_0^{\infty}\frac{g(\tilde{\epsilon})}{e^{(\tilde{\epsilon} - \tilde{\mu})/\tilde{T}} + 1}d\tilde{\epsilon} \approx \int_0^{\tilde{\mu}}g(\tilde{\epsilon})d\tilde{\epsilon} + \frac{\pi^2}{6}g^{\prime}(\tilde{\mu})\tilde{T}^2 + \frac{7\pi^4}{360}g^{(3)}\tilde{T}^4 + \cdots}

密度行列と二粒子相関

平衡状態の密度行列演算子:

 {\displaystyle \hat{\rho} \equiv \sum_{\nu}|\Phi_{\nu}\rangle w_{\nu}\langle\Phi_{\nu}|}

任意の演算子  {\hat{\mathcal{O}}} の期待値  {\langle\hat{\mathcal{O}}\rangle} は以下により計算できる。

 {\displaystyle \langle\hat{\mathcal{O}}\rangle \equiv \mathrm{Tr}\,\hat{\rho}\hat{\mathcal{O}} = \sum_{\nu}w_{\nu}\langle\Phi_{\nu}|\hat{\mathcal{O}}|\Phi_{\nu}\rangle}

引力ポテンシャルと束縛状態

超伝導平均場理論の基礎方程式

BCS 理論

 {p} 波超流動

準古典方程式とギンツブルグ–ランダウ方程式

アブリコソフの磁束格子