物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

量子力学ノート

SGCライブラリ - 102

量子力学ノート

数理と量子技術

佐藤文隆 著

2013年12月25日 初版発行

量子力学と波動性

ヤングの干渉実験:

  •  {z} 方向に進む波動がその進行方向に垂直に置かれた遮蔽板に当たる。
  • 遮蔽板にはスリット状の二つの横長の穴が開いている。
  • スリットの穴から漏れた光が背後のスクリーン上に像を結ぶ。
  • 遮蔽板とスクリーンの間の距離を  {z_0} とする。
  • 遮蔽板の二つのスリットの穴の幅を  {a}、それらの間隔を  {d} {d \gt a})とする。
  • 鉛直方向を  {x} 軸にとり、遮蔽板状の座標を  {(\xi,0)}、スクリーン上の座標を  {(x,z_0)} とする。
  • スリット「上」の開口座標は  {(d/2 - a/2, 0)} から  {(d/2 + a/2, 0)}
  • スリット「下」の開口座標は  {(- d/2 - a/2, 0)} から  {(- d/2 + a/2, 0)}

 {(\xi,0)} {(x,z_0)} の間の距離を  {z_0 \gg a} の近似の下で計算する。

 {\displaystyle r = \sqrt{z_0^2 + (x - \xi)^2} = R\sqrt{1 - \frac{2x}{R^2}\xi + \frac{\xi^2}{R^2}} \simeq R - \frac{x}{R}\xi}

  •  {R = \sqrt{z_0^2 + x^2}}

スクリーン上に達した時の波には、距離の違いによって位相差が生ずる。

位相差はスリットの各点から  {Ae^{-ikr}/R} の球面波が生じたとして計算される:

 {\displaystyle \phi_{\text{下}} + \phi_{\text{上}} = \frac{A}{R}\int_{-d/2 - a/2}^{-d + a/2}e^{-i\alpha\xi}d\xi + \frac{A}{R}\int_{d/2 - a/2}^{d/2 + a/2}e^{-i\alpha\xi}d\xi = \frac{4A}{\alpha R}\cos\frac{\alpha d}{2}\sin\frac{\alpha a}{2}}

  •  {\displaystyle \alpha = \frac{kx}{R}}

スクリーン上での強度分布  {|\phi_{\text{下}} + \phi_{\text{上}}|^2}

 {\displaystyle I = \left(\frac{4A}{kx}\right)^2\cos^2\frac{kd}{2R}x\sin^2\frac{ka}{2R}x = \left(\frac{4A}{kx}\right)^2\frac{1 + \cos\frac{kd}{R}x}{2}\sin^2\frac{ka}{2R}x}

これは  {x = 0} を中心とした幅  {2R\lambda/a} の広い山の中に、より狭い幅  {R\lambda/d} の縞模様を表している。

スリットを通った光線の広がりの程度は  {ka\Delta x/2R = \pi} の条件から  {\Delta x = (\lambda/a)R} となる。 すなわち、 {\Delta\theta = \Delta x/R = \lambda/a} の角度の広がりができる。

量子力学の干渉効果

 {V = 0} のシュレーディンガー方程式の解  {\Psi}

 {\Psi = A\exp [i(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})]}

 {z} 方向に進む波動  {\Psi} が二つのスリットを通ってスクリーンに達するときのスクリーン上での強度分布は  {|\Psi_{\text{下}} + \Psi_{\text{上}}|^2} となる。

一個の粒子が「上」のスリットを通過した状態  {\Psi_{\text{上}}} と「下」のスリットを通過した状態  {\Psi_{\text{下}}} の重ね合わせで干渉の縞模様が生じる。

場の量子力学

個数状態: {|n_1,n_2,\cdots\rangle = |n\rangle_1|n\rangle_2\dots}

  •  {\hat{N}_s|n_s\rangle = n_s|n_s\rangle}
  •  {\hat{N}_s = a_s^{\dagger}a_s}:個数作用素
  •  {a_s}:消滅演算子
  •  {a_s^{\dagger}}:生成演算子

コヒーレント状態: {|\alpha\rangle}

  •  {a|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle}

量子状態のエンタングルメント

スクリーン上の位置  {(x,z_0)} の電磁ポテンシャル  {\hat{A}} は、上下のスリットを通過した  {\hat{A}} の重なり合いで決まる。

 {\hat{A}(x,z_0) = \hat{A}_{\text{上}} + \hat{A}_{\text{下}} = (\exp i\phi_{\text{上}})a_{\text{上}} + (\exp i\phi_{\text{下}})a_{\text{下}}}

光子のエネルギーの作用素:

 {\hat{W}(x,z_0) = \hat{A}^{\dagger}\hat{A} = a_{\text{上}}^{\dagger}a_{\text{上}} + a_{\text{下}}^{\dagger}a_{\text{下}} + \beta^{\ast}a_{\text{上}}^{\dagger}a_{\text{下}} + \beta a_{\text{下}}^{\dagger}a_{\text{上}}}

上下の各スリットに光子「有」状態を  {|1\rangle}、光子「無」状態を  {|0\rangle} で表す。

  • 光子一個のエンタングルした状態
    •  {\displaystyle |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle_{\text{上}}|0\rangle_{\text{下}} + |0\rangle_{\text{上}}|1\rangle_{\text{下}})}
    •  {\displaystyle \langle\psi|\hat{W}|\psi\rangle \sim 4\cos^2\left[\frac{kd}{2R}x\right]}
    • 度数分布  {\langle\psi|\hat{W}|\psi\rangle} に従った干渉縞が現れる。
  • 個数状態の積状態
    •  {|\psi\rangle = |n_1\rangle_{\text{上}}|n_2\rangle_{\text{下}}}
    •  {\langle\psi|\hat{W}|\psi\rangle = n_1 + n_2}
    • 干渉項はゼロ。
  • コヒーレント状態の積状態
    •  {|\psi\rangle = |\alpha_1\rangle_{\text{上}}|\alpha_2\rangle_{\text{下}}}
    •  {\langle\psi|\hat{W}|\psi\rangle \sim \alpha_1^{\ast}\alpha_1 + \alpha_2^{\ast}\alpha_2 + \beta^{\ast}\alpha_1^{\ast}\alpha_2 + \beta\alpha_1\alpha_2^{\ast}}
    •  {\langle\psi|\hat{W}|\psi\rangle \sim [\alpha_1(\exp i\phi_{\text{上}}) + \alpha_2(\exp i\phi_{\text{下}})]^{\ast}[\alpha_1(\exp i\phi_{\text{上}}) + \alpha_2(\exp i\phi_{\text{下}})]}
    • 古典的波の干渉と同じになり、干渉縞が現れる。
  • 光子無しとコヒーレント状態の絡み合った状態
    •  {\displaystyle |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}[|\alpha\rangle_{\text{上}}|0\rangle_{\text{下}} + |0\rangle_{\text{上}}|\alpha\rangle_{\text{下}}]}
    • 干渉項はゼロ

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