基本的な概念

１次元 Ising 模型：

$\mathcal{H} = -J\sum_i\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z - H\sum_{i=1}\sigma_i^z$

${\sigma_i = \pm 1}$
${J \gt 0}$ の場合が強磁性に対応する。

周期的境界条件：

サイト数 ${N}$
${\sigma_{N + 1} = \sigma_1}$

${\displaystyle\mathcal{H} = -J\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1} - H\sum_{i=1}^N\frac{\sigma_i + \sigma_{i+1}}{2} = \sum_{i=1}^N\mathcal{H}_{ii+1}}$

$\mathcal{H}_{ii+1} = -J\sigma_i\sigma_{i+1} - H\frac{\sigma_i + \sigma_{i+1}}{2}$

伝送行列：

$$ V = \begin{pmatrix} e^{-\beta\mathcal{H}_{ii+1}(1,1)} & e^{-\beta\mathcal{H}_{ii+1}(1,-1)} \\ e^{-\beta\mathcal{H}_{ii+1}(-1,1)} & e^{-\beta\mathcal{H}_{ii+1}(-1,-1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{pmatrix} $$

分配関数 ${Z_N}$

$Z_N = \sum_{k_1=1}^2(V^N)_{k_1k_1} = \mathrm{Tr}\,V^N$

物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

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