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数物系のためのミラー対称性入門

弦理論

SGCライブラリ - 109

数物系のためのミラー対称性入門

古典的ミラー対称性の幾何学的理解に向けて

秦泉寺雅夫　著

2014年7月25日　初版発行

ミラー対称性の歴史

{E_8 \times E_8} ヘテロティック弦理論の有効場理論は、 {E_8 \times E_8} ゲージ群を持つ {N = 1} 超対称ヤン–ミルズ理論が結合した {10} 次元 {N = 1} 超重力理論で与えられる：

  • 計量 {g_{MN}}
  • 多脚場 {e_M^A}
  • 多脚場の超対称パートナー {\psi_M^{\alpha}}
  • ディラトン場 {\phi}
  • ディラトン場の超対称パートナー {\lambda^{\alpha}}
  • ２階反対称テンソル場 {B_{MN}}
  • ヤン–ミルズゲージ場 {A_M^a}
  • ゲージ場の超対称パートナー {\chi_{\alpha}^a}

場の強さ：

  • 重力の場の強さ： {R = d\omega + \omega \wedge \omega}
    • スピン接続： {\omega = \omega_{MB}^Adx^M}
  • ゲージ場の強さ： {F = dA + A \wedge A}
    • {A = A_M^aT_adx^M}
  • ２階反対称テンソル場の強さ： {H = H_{MNP}dx^M \wedge dx^N \wedge dx^P = dB + \omega_{3L} - \omega_{3Y}}
    • {B = B_{MN}dx^M \wedge dx^N}
    • 重力場に関するチャーン–サイモン微分形式： {d\omega_{3L} = \mathrm{tr}\,(R \wedge R)}
    • ゲージ場に関するチャーン–サイモン微分形式： {d\omega_{3Y} - \mathrm{tr}\,(F \wedge F)}

この理論を {6} 次元多様体 {K} でコンパクト化して得られる {4} 次元の理論を考える。

{4} 次元理論での超対称性の要請： {Q|\Omega\rangle = \langle\Omega|Q = 0}

  • {\displaystyle \delta\psi_M = \frac{1}{\kappa}D_M\eta + \frac{\kappa}{32g^2\phi}(\Gamma_M^{NPQ} - 9\delta_M^N\Gamma^{PQ})\eta H_{NPQ} + (\mathrm{fermion})^2}
  • {\displaystyle \delta\chi^a = -\frac{1}{4g\sqrt{\phi}}\Gamma^{MN}F_{MN}^a\eta + (\mathrm{fermion})^2}
  • {\displaystyle \delta\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}\phi}(\Gamma^M\partial\phi)\eta + \frac{\kappa}{8\sqrt{2}g^2\phi}\Gamma^{MNP}\eta H_{MNP} + (\mathrm{fermion})^2}

簡単のためディラトン場 {\phi} が定数であるとすると、 {\delta\psi_M = \delta\chi^a = \delta\lambda = 0} が成り立つ条件は以下で与えられる：

  • {D_M\eta = 0}
  • {\Gamma^{MN}F_{MN}^a\eta = 0}
  • {H_{MNP} = 0}

第一の条件を満たすには、 {K} のホロノミー群は {SU(3)} でなければならない：

  • {K} の一点 {p} 上の接ベクトル {\mathbf{v}}
  • {p} から始まって {p} で終わる {K} 上の閉曲線 {C}
  • {C} に沿って {\mathbf{v}} を平行移動させて {C} を一周すると得られる接ベクトル {\mathbf{v}^{\prime}}
  • {\mathbf{v}^{\prime} = U( C )\mathbf{v}}
  • 行列 {U( C )} は {SO(6)} の部分群をなす： {K} のホロノミー群
  • {D_i\eta = 0} は {\eta} を {K} のどんな閉曲線で１周させても元に戻ることを意味する。
  • {SO(6)} のリー環は {SU(4)} のリー環と同型。

$$ U( C ) = \begin{pmatrix}G & \mathbf{0} \\ {}^t\mathbf{0} & 1\end{pmatrix},\quad G \in SU(3) $$

第二、第三の条件は、 {E_8 \times E_8} のゲージ場 {A} に、 {K} のスピン接続 {\omega} と一致するような真空期待値を持たせることで満たされる：

  • {dH = d\omega_{3L} - d\omega_{3Y} = \mathrm{tr}\,(R \wedge R) - \mathrm{tr}\,(F \wedge F) = 0}

ゲージ群 {E_8 \times E_8} は {SU(3)} に値をとる真空期待値のため自発的対称性の破れを引き起こす。

  • 片方の {E_8} に {SU(3)} を埋め込み、 {SU(3)} と可換な部分群を {E_6} とする。
  • {E_6} はゲージ群 {U(1) \times SU(2) \times SU(3)} を部分群として含む。
  • massless フェルミオン場は {E_8} の随伴表現 {\mathbf{248}} に値を取る場 {\chi_{\alpha}^a} から生じる。
  • {\mathbf{248} = (\mathbf{3},\mathbf{27}) \oplus (\overline{\mathbf{3}},\overline{\mathbf{27}}) \oplus (\mathbf{8},\mathbf{1}) \oplus (\mathbf{1},\mathbf{78})}

{K} が {SU(3)} ホロノミーを持つとき、 {K} は複素多様体（ケーラー多様体）の構造を持ち、 {K} の点 {p} における接空間 {T_pK} は正則部分と反正則部分の直和 {T_p^{\prime}K \oplus \overline{T_p^{\prime}}K} に分解する：

簡単な複素幾何

位相的シグマ模型

トーリック幾何とミラー対称性

ミラー対称性の仮説の検証

まだまだ続くミラー対称性