SGCライブラリ - 112

重力とエントロピー

重力の熱力学的性質を理解するために

福間将文・酒谷雄峰　共著

2014年10月25日　初版発行

一般相対性理論の基礎事項

エントロピーと相対論的連続体力学

平衡状態：熱力学変数 ${a = (a^r)}$ に対してエントロピーが最大の状態

${S = S(a)}$

Gibbs の関係式：

$dS = \sum_{r=1}^k\frac{\partial S(a)}{\partial a^r}da^r$

系の温度 ${T}$ ：

$\frac{1}{T} \equiv \frac{\partial S(a)}{\partial E}$

局所熱平衡仮説

${d}$ 次元の曲がった時空上の等方的な ${1}$ 成分流体を考える。

Landau–Lifschitz フレーム：

エネルギー運動量テンソル ${T^{\mu\nu}}$
${T^{\mu}{}_{\nu}(x)u^{\nu}(x) = -e(x)u^{\mu}(x)}$
固有エネルギー密度 ${e(x)}$
速度ベクトル場 ${u^{\mu}(x)}$
${u^{\mu}u_{\mu} = -1}$
エネルギー運動量ベクトル場 ${p_{\mu}(x) \equiv e(x)u_{\mu}(x) = -T_{\mu}{}^{\nu}(x)u_{\nu}(x)}$

流体の局所静止系：

粒子数カレント ${n^{\mu}}$ ：

局所熱平衡の仮定の下では、等方的 ${1}$ 成分流体の流体粒子の熱力学的状態は ${e(x)}$ と ${n(x)}$ で指定される：

Gibbs の関係式：

$\delta s(x) = \frac{1}{T(x)}\delta e(x) - \frac{\mu(x)}{T(x)}\delta n(x)$

体積 ${V}$ の空間的微小領域を考える。

${S = Vs(E/V,N/V) = S(E,N,V)}$

$\delta S = \frac{1}{T}\delta E - \frac{\mu}{T}\delta N + \frac{P}{T}\delta V$

相対論的粘性流体力学

等方的な ${1}$ 成分粘性流体力学の基礎方程式を考える。

構成方程式：

${\tau^{\mu\nu}(x) = \tau^{\mu\nu}(p_{\mu},h_{\mu}{}^{\rho}\nabla_{\rho}p_{\nu},\dots,n,h_{\mu}{}^{\nu}\partial_{\nu}n,\dots,g_{\mu\nu})}$
${\nu^{\mu}(x) = \nu^{\mu}(p_{\mu},h_{\mu}{}^{\rho}\nabla_{\rho}p_{\nu},\dots,n,h_{\mu}{}^{\nu}\partial_{\nu}n,\dots,g_{\mu\nu})}$

${\nabla_{\nu}T^{\mu\nu} = 0}$ を ${u^{\mu}}$ について直交する成分と平行な成分に分離する：

直交成分（Euler 方程式）
- ${h^{\mu}{}_{\nu} = \delta^{\mu}_{\nu} + u^{\mu}u_{\nu}}$ と縮約
- ${ea^{\mu} = -h^{\mu}{}_{\nu}\nabla_{\rho}\tau^{\nu\rho}}$
- 流体粒子の加速度： ${a^{\mu} \equiv u^{\nu}\nabla_{\nu}u^{\mu}}$
平行成分（熱力学第一法則）
- ${u_{\nu}}$ と縮約
- $\nabla_{\mu}(eu^{\mu}) = u_{\nu}\nabla_{\mu}\tau^{\mu\nu} = -\frac{1}{2}\tau^{\mu\nu}\mathcal{L}_uh_{\mu\nu}$