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数理物理における固有値問題

物理数学

SGCライブラリ - 116

数理物理における固有値問題

基礎からスペクトル理論へ

楳田登美男　著

2015年4月25日　初版発行

固有値問題事始め：スツルム・リュービル型作用素

ディリクレ境界条件

両端を固定された一様な弦の振動： {1} 次元波動方程式

{\displaystyle \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \mu\frac{\partial^2u}{\partial x^2}}

  • {0 \le x \le l}
  • {-\infty \lt t \lt \infty}
  • {x} 軸に置かれた弦の長さ {l}
  • 弦の張力 {\mu}
  • 弦の質量密度 {\rho}

ディリクレ境界条件：

{u(0,1) = u(l,t) = 0}

変数分離法：

{u(x,t) = v(x)g(t)}

  • {\displaystyle \frac{d^2v}{dx^2}(x) = -\lambda v(x)}
  • {\displaystyle \frac{d^2g}{dt^2}(t) = -\lambda g(t)}

ただし、簡単のため {\rho = \mu} とした。

ノイマン境界条件

両端が断熱材に接している細長い棒の温度： {1} 次元熱方程式

{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}

  • {0 \le x \le l}
  • {0 \le t \lt \infty}
  • {x} 軸に置かれた弦の長さ {l}
  • 棒の熱伝導率 {K}
  • 棒の比熱 {\sigma}
  • 棒の密度 {\rho}
  • 棒の熱拡散率 {\kappa^2 = K / (\sigma\rho)}

ノイマン境界条件：

{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(l,t) = 0}

変数分離法：

{u(x,t) = v(x)g(t)}

  • {\displaystyle \frac{d^2v}{dx^2}(x) = -\lambda v(x)}
  • {\displaystyle \frac{dg}{dt}(t) = -\kappa^2\lambda g(t)}

スツルム・リュービル型方程式

両端を固定された弦の振動： {1} 次元波動方程式

{\displaystyle \rho(x)\frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \frac{\partial}{\partial x}\left\{p(x)\frac{\partial u}{\partial x}\right\} = 0}

  • {0 \le x \le l}
  • {-\infty \lt t \lt \infty}
  • {x} 軸に置かれた弦の長さ {l}
  • 単位長さあたりの弦の質量 {\rho(x)}
  • 弾性率に弦の断面積を掛けたもの {p(x)}

変数分離法：

{u(x,t) = v(x)g(t)}

スツルム・リュービル型方程式：

  • {\displaystyle \frac{d}{dx}\left\{p(x)\frac{dv}{dx}(x)\right\} = -\lambda\rho(x)v(x)}
  • {\displaystyle \frac{d^2g}{dt^2}(t) = -\lambda g(t)}

シュレーディンガー作用素の固有値問題

ヒルベルト空間、自己共役作用素