SGCライブラリ - 117

幾何学的に理解する物理数学

園田英徳　著

2015年5月25日　初版発行

エネルギー保存則

力のベクトル場 ${\vec{F}(\vec{x}) = (F_x(\vec{x}),F_y(\vec{x}))}$ が与えられているとする。

ポテンシャルエネルギーを定義できるための条件：

${\partial_xF_y = \partial_yF_x}$

この条件のもとで、力の場はポテンシャルエネルギーの勾配として表せる。

${\vec{F} = -\nabla V}$

このとき、全エネルギーが保存する：

$E \equiv \frac{m}{2}\dot{\vec{x}}^2 + V(\vec{x})$

２重積分

${2}$ 変数関数の積分：

$\int dxdy\,f(x,y) = \int J(s,t)\,dsdt\,f(x(s,t),y(s,t))$

${x = x(s,t)}$
${y = y(s,t)}$
Jacobian： $J(s,t) \equiv \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\right| \equiv \partial_sx\cdot\partial_ty - \partial_tx\cdot\partial_sy$

${3}$ 次元空間においてベクトル場 ${\vec{v}(\vec{x})}$ が与えられているとする。

閉曲面 ${S}$ とそれによって囲まれた体積 ${V}$ を考える。

ベクトル場 ${\vec{v}(\vec{x})}$ の発散：

${\nabla\cdot\vec{v}(\vec{x}) \equiv \partial_xv_x(\vec{x}) + \partial_yv_y(\vec{x}) + \partial_zv_z(\vec{x})}$

Gauss の法則：

$\int_Sd\vec{S}\cdot\vec{v} = \int_Vd^3V\,\nabla\cdot\vec{v}$