物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

トップ > 統計力学 > 重点解説　スピンと磁性

重点解説　スピンと磁性

統計力学

SGCライブラリ - 125

重点解説　スピンと磁性

現代物理学のエッセンス

川村光　著

2016年5月25日　初版発行

スピンの発見

スピン角運動量 {s}

{[s_x,s_y] = is_z,\quad [s_y,s_z] = is_x,\quad [s_z,s_x] = is_y}

{\vec{s}^2 = s_x^2 + s_y^2 + s_z^2 = s(s + 1)}

スピン磁気モーメント

{\vec{\mu} = -g\mu_{\mathrm{B}}\vec{s}}

  • ボーア磁子: {\displaystyle \mu_{\mathrm{B}} = \frac{e\hbar}{2mc}}
  • {g} 因子: {g = 2.0023\cdots}

スピン軌道相互作用

電荷 {Ze} の原子核から測った位置ベクトル {\vec{r}} の場所を速度 {\vec{v}} で運動している電子を考える。

電子の静止系におけるスピン軌道相互作用エネルギー

{\displaystyle \mathcal{H}_{ls} = 2\mu_{\mathrm{B}}\vec{H}_{ls}\cdot\vec{s}}

内部磁場： {\displaystyle \vec{H}_{ls} = -\frac{Z\mu_{\mathrm{B}}}{|\vec{r}|^3}\vec{l}}

パウリのスピン理論　非相対論的量子力学

シュレーディンガー方程式

{\displaystyle \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\vec{\nabla}^2 + V(\vec{r})\right]\phi(\vec{r},t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi(\vec{r},t)}

複素２次元のスピン空間での２成分表示の波動関数

{\displaystyle \phi(\vec{r}) = \binom{\phi(\vec{r},\frac{1}{2})}{\phi(\vec{r},-\frac{1}{2})} = \binom{\phi_1(\vec{r})}{\phi_2(\vec{r})}}

ハミルトニアン

  • スピンによらない部分 {\mathcal{H}_0}
  • スピンに依存する部分 {\mathcal{H}_s = 2\mu_{\mathrm{B}}(\vec{H} + \vec{H}_{ls})\cdot\vec{s}}
  • {\vec{H}}：外部磁場
  • {\vec{H}_{ls}}：内部磁場

{\mathcal{H}_s = \vec{V} \cdot 2\vec{s} = \vec{V} \cdot \vec{\sigma}}

  • {\vec{V} = \mu_{\mathrm{B}}(\vec{H} + \vec{H}_{ls})}
  • {\vec{\sigma} = 2\vec{s} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)} ：パウリ行列

$$ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ,\quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} ,\quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

パウリ方程式

{\displaystyle\mathcal{H}_0 + \mathcal{H}_s}\phi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi

$$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi = \begin{pmatrix} \mathcal{H}_0 + V_z & V_x - iV_y \\ V_x + iV_y & \mathcal{H}_0 - V_z \end{pmatrix} \phi $$

ディラックのスピン理論　相対論的量子力学

ディラック方程式

相対論的な電子の量子論

{\displaystyle \left[\gamma_{\mu}\frac{\partial}{\partial x_{\mu}} + m\right]\phi = 0}

ディラック方程式は４次元時空内でのローレンツ変換に対して共変。

$$ x = \begin{pmatrix} x_1 = x \\ x_2 = y \\ x_3 = z \\ x_4 = ict \end{pmatrix} $$

４成分波動関数：ディラックスピノール

$$ \phi = \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \phi_3 \\ \phi_4 \end{pmatrix} $$

{\gamma} 行列

$$ \gamma_1 = \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_x \\ i\sigma_x & 0 \end{pmatrix} ,\quad \gamma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_y \\ i\sigma_y & 0 \end{pmatrix} ,\quad \gamma_3 = \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_z \\ i\sigma_z & 0 \end{pmatrix} ,\quad \gamma_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

スピン磁気モーメント

量子力学的に静電磁場を扱う。

  • ベクトルポテンシャル： {\vec{A} = (A_x,A_y,A_z)}
  • スカラーポテンシャル： {\psi}

ディラック方程式

{\displaystyle \left[\gamma_y\left(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}} + ieA_{\mu}\right) + m\right]\phi = 0}

$$ A = \begin{pmatrix} A_1 = A_x \\ A_2 = A_y \\ A_3 = A_z \\ A_4 = i\psi \end{pmatrix} $$

スピンと統計

  • ボソン：粒子の入れ替えに対して波動関数が対称
  • フェルミオン：粒子の入れ替えに対して波動関数が反対称

{N} 個の整数の組（ {1,2,\dots,N}） の任意の置換を {P} と表す。

ボース統計の {N} 粒子波動関数

{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_P\phi_{\vec{k}_1}(\vec{r}_{P(1)})\phi_{\vec{k}_2}(\vec{r}_{P(2)})\cdots\phi_{\vec{k}_N}(\vec{r}_{P(N)})}

フェルミ統計の {N} 粒子波動関数

{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_P(-1)^P\phi_{\vec{k}_1}(\vec{r}_{P(1)})\phi_{\vec{k}_2}(\vec{r}_{P(2)})\cdots\phi_{\vec{k}_N}(\vec{r}_{P(N)})}

フェルミオンは同一の１粒子状態を取ることはできない：パウリの排他律

理想フェルミ気体

フェルミ分布関数

{\displaystyle \langle n_i\rangle = \frac{1}{e^{(\epsilon_i - \mu)/(k_{\mathrm{B}}T)} + 1}}

  • 粒子数 {n_i = 0,1}
  • 温度 {T}
  • 化学ポテンシャル {\mu}
  • １粒子状態 {i} のエネルギー {\epsilon_i}
  • ボルツマン定数 {k_{\mathrm{B}}}

{T = 0} での化学ポテンシャル {\mu} のことをフェルミエネルギー {\epsilon_{\mathrm{F}}}、それを温度に換算したものをフェルミ温度 {T_{\mathrm{F}} = \epsilon_{\mathrm{F}}/k_{\mathrm{B}}} という。

{s = \frac{1}{2}} の３次元理想フェルミ気体のフェルミエネルギー

{\displaystyle \epsilon_{\mathrm{F}} = \frac{\hbar^2}{2m}\left(3\pi^2\frac{N}{V}\right)^{2/3}}

{T = 0} では、 {\epsilon = \epsilon_{\mathrm{F}}} 以下の１粒子状態は全て占有され、 {\epsilon = \epsilon_{\mathrm{F}}} 以上の１粒子状態は完全に空になっている。（フェルミ面）

理想ボース気体

ボース分布関数

{\displaystyle \langle n_i\rangle = \frac{1}{e^{(\epsilon_i - \mu)/(k_{\mathrm{B}T})} - 1}}

  • 粒子数 {n_i = 0,1,2,\dots}
  • 温度 {T}
  • 化学ポテンシャル {\mu}
  • １粒子状態 {i} の１粒子エネルギー {\epsilon_i}
  • ボルツマン定数 {k_{\mathrm{B}}}

３次元理想ボース気体は、有限温度でボース–アインシュタイン凝縮という相転移を示す。

転移温度 {T_c} 以下で、マクロな数 {N_0} のボース粒子が最低１粒子状態 {\vec{k} = \vec{0}} を占める。

{\displaystyle T_c = \frac{2\pi\hbar^2}{mk_{\mathrm{B}}}\left[\frac{N}{\zeta(3/2)V}\right]^{2/3}}

{\displaystyle N_0 = N\left[1 - \left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}\right]}

磁性の起源　スピンと軌道

電子の磁気モーメント

{\vec{\mu} = -(2\vec{s} + \vec{l})\mu_{\mathrm{B}}}

ランジュバン常磁性

孤立磁気モーメント系が示す常磁性

ラーモア反磁性

外部磁場中の電子の軌道運動に伴う反磁性

パウリ常磁性

自由電子ガスが示す量子力学的な常磁性

ランダウ反磁性

外部磁場中の電子の軌道運動に伴う量子力学的な反磁性

自由イオンの磁性

多電子系のエネルギー準位は、電子の全軌道角運動量 {L} と全スピン角運動量 {S} の組 {(L,S)} でラベルされる。

それぞれの準位は、 {(2L + 1)(2S + 1)} 重に縮退している。

{(L,S)} でラベルされる縮退した準位： {LS} 多重項

フントの規則

最低エネルギーの {LS} 多重項を与える規則

  • 全スピン角運動量 {S} の値を最大にする多重項
  • その中で全軌道角運動量 {L} を最大にする多重項

スピン軌道相互作用が存在するとき、ハミルトニアンと交換し良い量子数となるのは、全角運動量 {\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}} である。

その場合のエネルギー準位は {J} 多重項として記述される。

磁気モーメントの時間平均に寄与するのは {\vec{J}} との平行成分のみである。

{\langle\vec{\mu}\rangle = -g_J\mu_{\mathrm{B}}\vec{J}}

ランデの {g} 因子： {\displaystyle g_J = \frac{3}{2} + \frac{S(S + 1) - L(L + 1)}{2J(J + 1)}}

{J} 多重項は {2J + 1} 重に縮退している。

固体内の磁性イオンと結晶場

結晶場

結晶個体中では、磁性陽イオンは、周囲の陰イオンから結晶の空間的対称性を反映したポテンシャルを受ける。

交換相互作用

２つの電子の全波動関数

  • ３重項： {S = 1}
    • {|\uparrow\uparrow\rangle}
    • {\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle))}
    • {|\downarrow\downarrow\rangle}
  • １重項： {S = 0}
    • {\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle)}

２電子の軌道波動関数は、スピン３重厚の場合、電子の入れ替えに対して反対称、スピン１重項の場合、電子の入れ替えに対して対称になる。

  • ３重項： {\phi_t = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_a(\vec{r}_1)\phi(\vec{r}_2) - \phi_b(\vec{r}_1)\phi_a(\vec{r}_2))}
  • １重項： {\phi_t = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_a(\vec{r}_1)\phi(\vec{r}_2) + \phi_b(\vec{r}_1)\phi_a(\vec{r}_2))}

協力現象としての磁性と磁気相転移

新奇な磁性 I　フラストレート磁性体

新奇な磁性 II　乱れとスピングラス

新奇な磁性 III　量子効果とスピン液体

遍歴する電子と磁性