SGCライブラリ - 134

量子力学の探求

多面的理解で築く現代物理の基礎

仲滋文　著

2017年6月25日　初版発行

シュレディンガー方程式と量子力学の基本構造

ハイゼンベルク表示

状態： ${|\psi\rangle}$
演算子： ${\hat{A}(t) = e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\hat{A}e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}}$
ハイゼンベルクの運動方程式： $\frac{d}{dt}\hat{A}(t) = \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}(t),\hat{H}]$

シュレディンガー表示

状態： ${|\psi(t)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}|\psi\rangle}$
演算子： ${\hat{A}}$
シュレディンガー方程式： $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}(\hat{q},\hat{p})|\psi(t)\rangle$

確率解釈

${\langle\psi|\psi\rangle = 1}$ に規格化された状態 ${\psi}$ の下で、 ${|\langle\alpha_n|\psi\rangle|^2}$ は物理量 ${\hat{A}}$ の観測値を ${a_n}$ に見出す確率を表す。

行列力学と固有値問題

保存量となる物理量の演算子 ${\hat{G}}$

$\frac{d}{dt}\hat{G}(t) = \frac{1}{i\hbar}[\hat{G}(t),\hat{H}] = \frac{1}{i\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}[\hat{G},\hat{H}]e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t} = 0$

${\hat{G}}$ を生成子とする無限小変換：

${\hat{A}^{\prime} = e^{i\epsilon\hat{G}}\hat{A}e^{-i\epsilon\hat{G}} \simeq \hat{A} + \delta\hat{A}}$

${\delta\hat{A} = i\epsilon[\hat{G},\hat{A}]}$
${\epsilon \ll 1}$

ハミルトニアン演算子 ${\hat{H}(\hat{p},\hat{q})}$ の変換：

${\hat{H}^{\prime}(\hat{q}^{\prime},\hat{p}^{\prime}) = e^{i\epsilon\hat{G}}\hat{H}e^{-i\epsilon\hat{G}} = \hat{H}(\hat{q} + \delta\hat{q},\hat{p} + \delta\hat{p})}$

${\hat{G}}$ がハミルトニアンと可換な保存量で ${\hat{H}^{\prime} = \hat{H}}$ となれば、ハミルトニアンは ${\hat{G}}$ による変換の下で不変＝対称となる。

量子力学と経路積分

初期条件を与えたシュレディンガー方程式：

$\left(\frac{\partial}{\partial t_b} - \frac{1}{i\hbar}\hat{H}\right)|\psi(t_b)\rangle = 0$
$\lim_{t_b \to t_a}|\psi(t_b)\rangle = |\psi(t_a)\rangle$
初期時刻 ${t_a}$
終時刻 ${t_b (\ge t_a)}$

${q}$ -表示の状態： ${\psi(q,t) = \langle q|\psi(t)\rangle}$

$\psi(q_b,t_b) = \langle q_b|e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}(t_b - t_a)}|\psi(t_a)\rangle = \int dq_a\langle q_b|e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}(t_b - t_a)}|q_a\rangle\psi(q_a,t_a)$

時間に依存するシュレディンガー方程式のグリーン関数： ${G_{ba}}$

${G_{ba} = \langle q_b|e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}(t_b - t_a)}|q_a\rangle\theta(t_b - t_a) = \langle q_b,t_b|q_a,t_a\rangle\theta(t_b - t_a)}$

$\left(\frac{\partial}{\partial t_b} - \frac{1}{i\hbar}\hat{H}_b\right)G_{ba} = \delta(q_b - q_a)\delta(T_{ba})$

${T_{ba} = t_b - t_a}$
${\hat{H}_b = \hat{H}(q_b,-i\hbar\frac{\partial}{\partial q_b})}$

時間間隔 ${T = t_b - t_a}$ を ${N}$ 分割して ${\Delta t = T/N}$ とする。

$G_{ba} = \int\left(\prod_{j=1}^{N-1}dq_j\right)\prod_{i=1}^N\langle q_i|e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t}|q_{i-1}\rangle = \int\left(\prod_{j=1}^{N-1}dq_j\right)\prod_{i=1}^N\langle q_i,t_i|q_{i-1},t_{i-1}\rangle$

運動量演算子の固有状態： ${\{|p\rangle\}}$

$$ \begin{align} \langle q_i,t_i|q_{i-1},t_{i-1}\rangle &\simeq \langle q_i|1 - \frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t|q_{i-1}\rangle \\ &= \int dp_i\langle q_i|p_i\rangle\langle p_i|q_{i-1}\rangle\left(1 - \frac{i}{\hbar}\Delta t\frac{\langle p_i|\hat{H}|q_{i-1}\rangle}{\langle p_i|q_{i-1}\rangle}\right) \\ &\simeq \int\frac{dp_i}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}\Delta t\left(p_i\frac{q_i - q_{i-1}}{\Delta t} - H_i\right)} \end{align} $$

${H_i = \langle p_i|\hat{H}|q_{i-1}\rangle/\langle p_i|q_{i-1}\rangle}$

$$ \begin{align} G_{ba} &= \lim_{N \to \infty}\int\left(\prod_{j=1}^{N-1}dq_j\right)\int\left(\prod_{i=1}^N\frac{dp_i}{2\pi\hbar}\right)e^{\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^N\Delta t\left(p_i\frac{\Delta q_i}{\Delta t} - H_i\right)} \\ &\equiv \int_a^b\mathcal{D}q\int\mathcal{D}p\,e^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b}dt\,(p\dot{q} - H(q,p))} \end{align} $$

グリーン関数の経路積分表示：

$G_{ba} = \int_a^b\mathcal{D}q\int\mathcal{D}p\,e^{\frac{i}{\hbar}S_p[q,p]} = \int_a^b\mathcal{D}q\,e^{\frac{i}{\hbar}S[q]}$