量子力学の探求
SGCライブラリ - 134
量子力学の探求
多面的理解で築く現代物理の基礎
仲滋文 著
2017年6月25日 初版発行
シュレディンガー方程式と量子力学の基本構造
ハイゼンベルク表示
- 状態:
- 演算子:
- ハイゼンベルクの運動方程式:
シュレディンガー表示
- 状態:
- 演算子:
- シュレディンガー方程式:
確率解釈
に規格化された状態 の下で、 は物理量 の観測値を に見出す確率を表す。
行列力学と固有値問題
保存量となる物理量の演算子
を生成子とする無限小変換:
ハミルトニアン演算子 の変換:
がハミルトニアンと可換な保存量で となれば、ハミルトニアンは による変換の下で不変=対称となる。
量子力学と経路積分
初期条件を与えたシュレディンガー方程式:
- 初期時刻
- 終時刻
-表示の状態:
時間に依存するシュレディンガー方程式のグリーン関数:
時間間隔 を 分割して とする。
運動量演算子の固有状態:
$$ \begin{align} \langle q_i,t_i|q_{i-1},t_{i-1}\rangle &\simeq \langle q_i|1 - \frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t|q_{i-1}\rangle \\ &= \int dp_i\langle q_i|p_i\rangle\langle p_i|q_{i-1}\rangle\left(1 - \frac{i}{\hbar}\Delta t\frac{\langle p_i|\hat{H}|q_{i-1}\rangle}{\langle p_i|q_{i-1}\rangle}\right) \\ &\simeq \int\frac{dp_i}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}\Delta t\left(p_i\frac{q_i - q_{i-1}}{\Delta t} - H_i\right)} \end{align} $$
$$ \begin{align} G_{ba} &= \lim_{N \to \infty}\int\left(\prod_{j=1}^{N-1}dq_j\right)\int\left(\prod_{i=1}^N\frac{dp_i}{2\pi\hbar}\right)e^{\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^N\Delta t\left(p_i\frac{\Delta q_i}{\Delta t} - H_i\right)} \\ &\equiv \int_a^b\mathcal{D}q\int\mathcal{D}p\,e^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b}dt\,(p\dot{q} - H(q,p))} \end{align} $$
グリーン関数の経路積分表示:
- と はルジャンドル変換で結ばれる。