物理ノート

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数物系に向けたフーリエ解析とヒルベルト空間論

物理数学

SGCライブラリ - 135

数物系に向けたフーリエ解析とヒルベルト空間論

量子科学への誘い

廣川真男　著

2017年7月25日　初版発行

線上で振動する粒子系

線上に振動している粒子を等間隔に並べ、それらの粒子を質点とみなし、その線を弦とみなす。

  • 弦の線密度 {\rho}
  • 弦の張力 {T}
  • 弦の長さ {L + a}
  • 原点から {N} 番目の粒子までの長さ {L = Na}
  • 粒子の質量 {m = \rho L/N}
  • 原点から {l} 番目の粒子の時刻 {t} における変位 {q_l = q_l(t)}
  • 弦の両端は固定 {q_0 = q_{N+1} = 0}

{l} 番目の質点は {l + 1} 番目の質点と {l - 1} 番目の質点から逆向きに引っ張られているとする。

{\displaystyle m\frac{d^2q_l}{dt^2} = -T\sin\theta_l(t) + T\sin\theta_{l+1}(t)}

  • 線分 {\overline{q_lq_{l+1}}} と {x} 軸のなす角 {\theta_{l+1} = \theta_{l+1}(t)}
  • 線分 {\overline{q_{l-1}q_l}} と {x} 軸のなす角 {\theta_l = \theta_l(t)}

各粒子の振動が微小振動で、弦の波も微小になる場合を考える。

{|q_l(t) - q_{l-1}(t)| \ll a}

直線上で振動する粒子の運動方程式：

{\displaystyle m\frac{d^2q_l}{dt^2} = \Lambda^2(q_{l+1} + q_{l-1} - 2q_l)}

  • {(q_l - q_{l-1})/a = \tan\theta_l}
  • {\Lambda = \sqrt{T/a}}

弦の長さ {L = Na} を維持し、質点 {q_l} の数を増やし {N} を十分大きくとる。

  • {N \to \infty}
  • 粒子同士の間隔 {\Delta x = a = L/N}
  • 質点 {q_l} の位置 {x = la = l\Delta x}
  • 時刻 {t}、位置 {x} における粒子が乗っている弦の {x} 軸に垂直な方向の変位 {\phi(x,t)}
  • {v = \sqrt{T/\rho}}

波動方程式：

{\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi(x,t) = v^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\phi(x,t)}

変位 {q_l = q_l(t)} の変数分離形：

{\displaystyle q_l(t) = \begin{cases}a(t)\cos k_n(l) \\ a(t)\sin k_n(l)\end{cases}}

{\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}a(t) = -\omega_n^2a(t)}

  • 波数 {k_n = 2\pi n/L}
  • 角振動数 {\omega_n = v|k_n|}

{\displaystyle \phi(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{L}}a_0 + \frac{1}{\sqrt{L}}\sum_{n=1}^{\infty}a_n^c(t)\cos k_nx + \frac{1}{\sqrt{L}}\sum_{n=1}^{\infty}a_n^s(t)\sin k_n x}

フーリエ級数

波動関数 {\phi(x,t)} に対して関数 {f(x)} を {f(x) = \phi(x,0)} で定義する。

{\displaystyle f(x) = \frac{1}{2\sqrt{L}}a_0 + \frac{1}{\sqrt{L}}\sum_{n=1}^{\infty}a_n^c\cos \frac{2\pi n}{L}x + \frac{1}{\sqrt{L}}\sum_{n=1}^{\infty}a_n^s\sin \frac{2\pi n}{L} x}

関数 {f(x)} がこのように級数表示でき何らかの意味で収束するとき、これを関数 {f(x)} のフーリエ級数とよぶ。

  • {\displaystyle a_0 = \frac{2}{\sqrt{L}}\int_0^Lf(x)dx}
  • {\displaystyle a_n^c = \frac{2}{\sqrt{L}}\int_0^Lf(x)\cos\frac{2\pi n}{L}xdx}
  • {\displaystyle a_n^s = \frac{2}{\sqrt{L}}\int_0^Lf(x)\sin\frac{2\pi n}{L}xdx}

定数 {a} と {b} を {L = b - a} となるように決める。

{\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{b - a}}\sum_{n = -\infty}^{\infty}c_n(f)e^{i2\pi n x/(b - a)}}

{\displaystyle c_n(f) = \frac{1}{\sqrt{b - a}}\int_a^bf(x)e^{-i2\pi n x/(b - a)}dx}

区間の長さが同じであれば、フーリエ級数は弦の左端と右端の場所のとり方に依らない。

フーリエ変換

{a = -L/2,\, b = L/2} とする。

{\displaystyle f(x) = \lim_{N \to \infty}f_N(x)}

{\displaystyle f_N(x) = \frac{1}{\sqrt{L}}\sum_{n = -N}^N\left\{\frac{1}{\sqrt{L}}\int_{-L/2}^{L/2}f(y)e^{-ik_ny}dy\right\}e^{ik_nx}}

任意に {K \gt 0} をとり、 {L = 2\pi N/K} で与える。

  • {\Delta k = K/N}
  • {\tilde{k}_n = n\Delta k}

極限 {K \to \infty} をとる。

{\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-iky}dy\right\}e^{ikx}dk}

関数 {f(x)} に対するフーリエ変換 {\mathcal{F}f(k)}、関数 {g(k)} に対する逆フーリエ変換 {\mathcal{F}^{-1}g(x)} を以下で定義する：

{\displaystyle \mathcal{F}f(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx}

{\displaystyle \mathcal{F}^{-1}g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(k)e^{ikx}dk}

{f(x) = \mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f(x)}

正準量子化

第２量子化

ヒルベルト空間

ヒルベルト空間上の演算子

人工原子と光の超強結合領域解析