ブラックホールの数理
SGCライブラリ - 139
ブラックホールの数理
その大域構造と微分幾何
石橋明浩 著
2018年1月25日 初版発行
ブラックホール厳密解
Schwarzschild 解
- 静的球対称であり等長変換群 をもつ。
- 漸近平坦時空を表す。
- パラメータ は質量に対応する。
- Eddington-Finkelstein 座標
- 事象の地平面
- 時空の解析拡張
- 仮定:
- 無限遠方 で
- で内部境界 があり、
-
- で は Minkowski 時空に漸近する。
- の内部境界
-
- :アフィン・パラメータ
- 仮定:
- Kruskal-Szekeres 座標系
- Schwarzschild 時空の場合:
- 事象の地平面
- Schwarzschild 時空の場合:
- Kruskal 図
- 4つの領域:
- 漸近平坦領域:
- 領域
- 事象の地平面:
- 事象の地平面 の分岐面:
- 球対称性の原点 にある特異点:
- 4つの領域:
- 時間並進対称性
- 漸近無限遠方で時間並進対称性を表す Killing ベクトル場
- 漸近無限遠方で時間並進対称性を表す Killing ベクトル場
- Killing ホライズン
-
- において時間的。
- において空間的。
- 上で に接しており光的。
- で消える。
-
- Einstein-Rosen 橋
- を通る 面
- は と を結ぶ3次元の空間的超曲面
-
- 等方座標
- を通る 面
- 表面重力
- 上で
- 捕捉面と見かけの地平面
- の球面 から放たれた光的測地線の接ベクトル
- 光的測地線束の膨張率
- 各領域での膨張率
- の球面 から放たれた光は内部に捕らわれる。
- の球面 から放たれた光的測地線の接ベクトル
- 特異点
- 曲率特異点を ()にもつ。
- 曲率特異点を ()にもつ。
- 共形図(Penrose 図)
- 座標変換
- 最大拡張された Schwarzschild 時空の境界
- 未来の光的無限遠 :
- 過去の光的無限遠 :
- 未来の時間的無限遠 :
- 過去の時間的無限遠 :
- 空間的無限遠 :
- 特異点:
- 座標変換
- 安定性
- Reissner-Nordstrom 解
- 電荷
- ブラックホール力学:第1法則
- の断面 の面積
-
- の断面 の面積
Kerr 解
$$ \begin{align} \displaystyle ds^2 &= -\left(1 - \frac{2Mr}{\rho^2}\right)(du_+ - a\sin^2\theta d\phi_+)^2 \\ &\qquad + 2(du_+ - a\sin^2\theta d\phi_+)(dr - a\sin^2\theta d\phi_+) + \rho^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi_+^2) \end{align} $$
- Kerr 座標
- 漸近平坦な定常軸対称時空を表す真空解である。
- が質量、 が角運動量に対応する。
- 対称性
- 事象の地平面
- 地平面のトポロジー
- Kerr-Schild 座標
- 特異点
- Boyer-Lindquist 座標
- 定常性限界とエルゴ領域
- Killing ホライズン
- 表面重力
- 荷電 Kerr 解
- 大域構造
- 因果律の破れ
- ブラックホール力学:第1法則
- Smarr 公式
- 超放射(super radiance)
- 安定性
高次元ブラックホール
- 高次元ブラックホール厳密解
- 複数の独立な回転パラメータをもち得る。
- 回転パラメータが必ずしも上限をもたない。
- 事象の地平面が膜状に拡がりをもつことができる。
- 事象の地平面が非連結・多重になり得る。
- 解の多くが不安定である。