物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

ブラックホールの数理

SGCライブラリ - 139

ブラックホールの数理

その大域構造と微分幾何

石橋明浩 著

2018年1月25日 初版発行

ブラックホール厳密解

Schwarzschild 解

 {\displaystyle ds^2 = -f(r)dt^2 + \frac{1}{f(r)}dr^2 + r^2d\Omega^2}

 {\displaystyle f(r) = 1 - \frac{2M}{r}}

  • 静的球対称であり等長変換群  {\mathbb{R} \times SO(3)} をもつ。
  • 漸近平坦時空を表す。
  • パラメータ  {M} は質量に対応する。
  • Eddington-Finkelstein 座標
    •  {u_{\pm} := t \pm r_{\ast}}
    •  {\displaystyle r_{\ast} := \int\frac{dr}{f(r)}}
    •  {ds^2 = -f(r)du_{\pm}^2 \pm 2du_{\pm}dr + r^2d\Omega^2}
  • 事象の地平面
    •  {f(r) = 0\,\Longrightarrow\, r = r_H := 2M}
  • 時空の解析拡張
    • 仮定: {ds^2 = -f(r(u))du_+du_- + r^2d\Omega^2}
      • 無限遠方  {r \to \infty} {f(r) \to 1}
      •  {r \to r_H} で内部境界  {\mathscr{H}} があり、 {f(r) \propto (r - r_H) \to 0}
      •  {\displaystyle u_+ - u_- = 2\int\frac{dr}{f(r)} = 2r_{\ast}}
    •  {\text{I} := \{-\infty \lt u_{\pm} \lt \infty\}}
      •  {u_{\pm} \to \pm\infty} {\text{I}} は Minkowski 時空に漸近する。
      •  {\text{I}} の内部境界  {\mathscr{H}_1^{\pm} := \{u_{\pm} = \text{const.}\, u_{\mp} \to \pm\infty\}}
    •  {U_{\pm} := \pm e^{\pm\kappa_{\pm}u_{\pm}} \propto \lambda_{\pm}}
      •  {\lambda_{\pm}}:アフィン・パラメータ
  • Kruskal-Szekeres 座標系
    • Schwarzschild 時空の場合:
      •  {ds^2 = -2F(U_{\pm})dU_+dU_- + r^2(U_{\pm})d\Omega^2}
      •  {\displaystyle F(U_{\pm}) := \frac{2r_H^3}{r}e^{-r/r_H}}
    • 事象の地平面  {\mathscr{H}^{\pm}}
      •  {U_+U_- = 0}
  • Kruskal 図
    • 4つの領域:
      •  {\text{I}: \{U_+ \gt 0,\, U_- \lt 0\}}
      •  {\text{II}: \{U_+ \gt 0,\, U_- \gt 0\}}
      •  {\text{III}: \{U_+ \lt 0,\, U_- \lt 0\}}
      •  {\text{IV}: \{U_+ \lt 0,\, U_- \gt 0\}}
    • 漸近平坦領域:
      • 領域  {\text{I},\,\text{IV}}
    • 事象の地平面:
      •  {\mathscr{H}_1^+: \{U_+ \gt 0,\,U_- = 0\}}
      •  {\mathscr{H}_1^-: \{U_+ = 0,\,U_- \lt 0\}}
      •  {\mathscr{H}_2^+: \{U_+ = 0,\,U_- \gt 0\}}
      •  {\mathscr{H}_2^-: \{U_+ \lt 0,\,U_- = 0\}}
    • 事象の地平面  {\mathscr{H}} の分岐面:
      •  {\sigma_B: \{U_+ = 0 = U_-\}}
    • 球対称性の原点  {r = 0} にある特異点:
      •  {\{U_+U_- = 1\}}
  • 時間並進対称性
    • 漸近無限遠方で時間並進対称性を表す Killing ベクトル場
      •  {\displaystyle t^a = \frac{1}{2r_H}\left\{U_+\left(\frac{\partial}{\partial U_+}\right)^a - U_-\left(\frac{\partial}{\partial U_-}\right)^a\right\}}
  • Killing ホライズン
    •  {\displaystyle \|t\|^2 = g_{ab}t^at^b = \frac{F}{2r_H^2}U_+U_- = -f(r)}
      •  {\text{I, IV}} において時間的。
      •  {\text{II, III}} において空間的。
      •  {\mathscr{H}} 上で  {\mathscr{H}} に接しており光的。
      •  {\sigma_B} で消える。
  • Einstein-Rosen 橋
    •  {\sigma_B} を通る  {t = \text{const.}} {\Sigma \cong \mathbb{R} \times S^2}
      •  {\Sigma} {\text{I}} {\text{IV}} を結ぶ3次元の空間的超曲面
    •  {\displaystyle \left.ds^2\right|_{\Sigma} = \left(1 + \frac{\rho_0}{\rho}\right)^4(d\rho^2 + \rho^2d\Omega^2)}
      •  {\displaystyle r = \left(1 + \frac{\rho_0}{\rho}\right)^2\rho}
      •  {\rho_0 := M/2}
    • 等方座標  {x^{\mu} := (t,\rho,z^A)}
      •  {\displaystyle ds^2 = -\left(\frac{1 - \rho_0/\rho}{1 + \rho_0/\rho}\right)^2dt^2 + \left(1 + \frac{\rho_0}{\rho}\right)^4(d\rho^2 + \rho^2d\Omega^2)}
  • 表面重力
    •  {\displaystyle \kappa = \frac{1}{2r_H}}
    •  {\mathscr{H}_1^+} 上で  {t^c\nabla_ct^a = \kappa t^a}
  • 捕捉面と見かけの地平面
    •  {r = \text{const.}} の球面  {\sigma(r)} から放たれた光的測地線の接ベクトル  {l_{\pm}^a}
      •  {l_{\pm}^al_a^{\pm} = 0}
      •  {l_{\pm}^b\nabla_bl_{\pm}^a = 0}
      •  {\displaystyle l_{\pm}^a = \frac{1}{F(U_{\pm})}\left(\frac{\partial}{\partial U_{\pm}}\right)^a}
    • 光的測地線束の膨張率
      •  {\displaystyle\theta_{\pm} := \nabla_al_{\pm}^a = \frac{1}{r_H}\frac{(-U_{\mp})}{r}}
    • 各領域での膨張率
      •  {\text{I}: \theta_+ \gt 0,\,\theta_- \lt 0}
      •  {\text{II}: \theta_{\pm} \lt 0}
      •  {\mathscr{H}_1^+: \theta_+ = 0,\,\theta_- \lt 0}
    •  {r \lt r_H} の球面  {T} から放たれた光は内部に捕らわれる。
  • 特異点
    • 曲率特異点を  {U_+U_- = 1} {r = 0})にもつ。
      •  {\displaystyle R_{abcd}R^{abcd} = \frac{12r_H^2}{r^6} \to \infty}
  • 共形図(Penrose 図)
    • 座標変換  {(U_+,U_-) \mapsto (\bar{U}_+,\bar{U}_-)}
      •  {\sqrt{r_H}\tan\bar{U}_{\pm} := U_{\pm}}
      •  {-\pi/2 \lt \bar{U}_+ + \bar{U}_- \lt \pi/2}
      •  {-\pi/2 \lt \bar{U}_{\pm} \lt \pi/2}
    • 最大拡張された Schwarzschild 時空の境界
      • 未来の光的無限遠  {\mathscr{J}^+} {\bar{U}_{\pm} = \pi/2,\,-\pi/2 \lt \bar{U}_{\pm} \lt 0}
      • 過去の光的無限遠  {\mathscr{J}^-} {\bar{U}_{\pm} = -\pi/2,\,0 \lt \bar{U}_{\pm} \lt \pi/2}
      • 未来の時間的無限遠  {i^+} {\bar{U}_{\pm} = \pi/2,\,\bar{U}_{\mp} = 0}
      • 過去の時間的無限遠  {i^-} {\bar{U}_{\pm} = 0,\,\bar{U}_{\mp} = -\pi/2}
      • 空間的無限遠  {i^0} {\bar{U}_{\pm} = \pi/2,\,\bar{U}_{\mp} = -\pi/2}
      • 特異点: {\bar{U}_+ + \bar{U}_- = \pm\pi/2}
  • 安定性
  • Reissner-Nordstrom 解
    • 電荷  {Q}
    •  {\displaystyle f(r) \to f(r) = 1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^2}{r^2}}
  • ブラックホール力学:第1法則
    •  {\mathscr{H}^+} の断面  {T_0 = \sigma(r_H)} の面積  {A}
      •  {\displaystyle A = 4\pi r_H^2 = \frac{16\pi G^2M^2}{c^4}}
      •  {\displaystyle \frac{\kappa}{8\pi G}dA = dM}
    •  {T_{\text{BH}}dS = dE}
      •  {Mc^2 \to E}
      •  {\alpha\kappa \to T_{\text{BH}}}
      •  {\displaystyle \frac{1}{\alpha}\frac{c^2}{8\pi G}A \to S}
      •  {\displaystyle \alpha = \frac{\hbar}{2\pi ck_B}}

Kerr 解

$$ \begin{align} \displaystyle ds^2 &= -\left(1 - \frac{2Mr}{\rho^2}\right)(du_+ - a\sin^2\theta d\phi_+)^2 \\ &\qquad + 2(du_+ - a\sin^2\theta d\phi_+)(dr - a\sin^2\theta d\phi_+) + \rho^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi_+^2) \end{align} $$

  • Kerr 座標
  • 漸近平坦な定常軸対称時空を表す真空解である。
  •  {M} が質量、 {J := aM} が角運動量に対応する。
  • 対称性
  • 事象の地平面
  • 地平面のトポロジー
  • Kerr-Schild 座標
  • 特異点
  • Boyer-Lindquist 座標
  • 定常性限界とエルゴ領域
  • Killing ホライズン
  • 表面重力
  • 荷電 Kerr 解
  • 大域構造
  • 因果律の破れ
  • ブラックホール力学:第1法則
  • Smarr 公式
  • 超放射(super radiance)
  • 安定性

高次元ブラックホール

  • 高次元ブラックホール厳密解
    • 複数の独立な回転パラメータをもち得る。
    • 回転パラメータが必ずしも上限をもたない。
    • 事象の地平面が膜状に拡がりをもつことができる。
    • 事象の地平面が非連結・多重になり得る。
    • 解の多くが不安定である。

時空特異点

ブラックホールの基本性質

ブラックホールの分類問題