SGCライブラリ - 143

ゲージヒッグス統合理論

素粒子標準理論のその先へ

細谷裕　著

2018年10月25日　初版発行

ヒッグス機構

理論が連続群 ${\mathcal{G}}$ の対称性を持つとする。

${\mathcal{G}}$ のある表現のスカラー場 ${\Phi}$ が自発的に真空期待値 ${\langle\Phi\rangle \neq 0}$ を持ち、対称性が部分群 ${\mathcal{H}}$ に破れたとする。

${\mathcal{G}}$ の次元： ${n_{\mathcal{G}}}$
${\mathcal{H}}$ の次元： ${n_{\mathcal{H}}}$

${\Phi}$ の独立な成分のうち、 ${n_{\mathcal{G}} - n_{\mathcal{H}}}$ 個の成分が質量ゼロの南部・ゴールドストーンボゾンとして現れる。

理論が連続群 ${\mathcal{G}}$ のゲージ対称性を持つと、 ${n_{\mathcal{G}} - n_{\mathcal{H}}}$ 個のゲージ場 ${A_{\mu}^a}$ の成分は南部・ゴールドストーンボゾンを吸収し、質量のあるベクトル場となる。

${\mathcal{G}}$ のゲージ対称性は ${\mathcal{H}}$ のゲージ対称性に自発的に破れる。

${\mathcal{H}}$ に対応する ${n_{\mathcal{H}}}$ 個のゲージ場成分はゼロ質量のままにとどまる。

アハロノフ・ボーム効果と細谷機構

空間が単連結でないとき、場の強さだけでは表せないゲージ場の自由度が現れる。

ウィルソン線積分：

$W(x_i,x_f;C) = P\exp\left\{-ig\int_Cdx^{\mu}A_{\mu}(x)\right\} \equiv \lim_{N \to \infty}W(x_0,x_1)\cdots W(x_{N-1},x_N)$

$W(x_{j-1},x_j) = 1 - ig\Delta x_{j-1}^{\mu}A_{\mu}(x_j)$

${SU(N)}$ ゲージ変換のもと、ウィルソン線積分は共変的に変換される。

$W(x_i,x_f;C) \to \Omega(x_i)W(x_i,x_f;C)\Omega(x_f)^{-1}$

${M^4 \times S^1}$ 上の ${SU(N)}$ ゲージ理論を考える。

${\displaystyle\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\mathrm{Tr}\,F_{MN}F^{MN} + \bar{\psi}\Gamma^MD_M\psi}$

${x^M = (x^{\mu},y)}$
${D_M = \partial_M - igA_M}$
${\psi(x,y)}$ ： ${SU(N)}$ 基本表現のディラック場

周期的境界条件：

${A_M(x,y + 2\pi R) = UA_M(x,y)U^{-1}}$
${\psi(x,y + 2\pi R) = e^{i\beta}U\psi(x,y)}$
${U \in SU(N)}$

ゲージ変換後の場が満たす境界条件：

${A^{\prime}_M(x,y + 2\pi R) = U^{\prime}A^{\prime}_M(x,y)U^{\prime -1} + \frac{i}{g}U^{\prime}\partial_MU^{\prime -1}}$
${\psi^{\prime}(x,y + 2\pi R) = e^{i\beta}U^{\prime}\psi^{\prime}(x,y)}$
${U^{\prime} = \Omega(x,y + 2\pi R)U\Omega(x,y)^{-1}}$

${U^{\prime} = U}$ となるゲージ変換が理論に残されたゲージ不変性を表す。

${\mathcal{G}_{\mathrm{res}} = \{\Omega(x,y);\,\Omega(x,y + 2\pi R)U\Omega(x,y)^{-1} = U\}}$

${S^1}$ を１周するウィルソン線積分 ${W(x)}$ に ${U}$ を掛けた ${\hat{W}(x) = W(x)U}$ の固有値はゲージ不変である。

${\hat{W}(x) \to \Omega(x,0)W(x)\Omega(x,2\pi R)^{-1}U = \Omega(x,0)\hat{W}(x)\Omega(x,0)^{-1}}$

${N}$ 個の固有値 ${\{e^{i\theta_j(x)},\,j = 1 \sim N\}}$ には ${\sum\theta_j(x) = 0\pmod{2\pi}}$ の関係があり、 ${N - 1}$ 個の固有値が独立である。

${\{\theta_j,\,1 \sim N,\,\sum\theta_j = 0 \pmod{2\pi}\}}$ を ${M^n \times S^1}$ 上の ${SU(N)}$ ゲージ理論におけるアハロノフ・ボーム位相と呼ぶ。

細谷機構

アハロノフ・ボーム位相によりゲージ対称性は自発的に破れる。

${SU(N)}$ 対称な境界条件（ ${U = 1}$ ）の場合を考える。

${\{\theta_j\}}$ は ${A_y}$ の定数モードとして記述できる。

${A_M = A_M^{\mathrm{c}} + A_M^{\mathrm{q}}}$
${A_{\mu}^{\mathrm{c}} = 0}$
${A_y^{\mathrm{c}} = \frac{1}{2\pi gR}\mathrm{diag}(\theta_1,\dots,\theta_N)}$
${\sum_{j=1}^N\theta_j = 0 \pmod{2\pi}}$

ゲージ群 ${\mathcal{G}}$ の生成子 ${\mathbf{g} = \{T^a\}}$ のうち、 ${\mathbf{h} = \{T^a;\,[T^a,\hat{W}_{\mathrm{sym}}] = 0\}}$ によって生成される部分群 ${\mathcal{H}_{\mathrm{sym}}}$ が生き残るゲージ対称性である。