幾何学から物理学へ
SGCライブラリ - 150
幾何学から物理学へ
物理を圏論・微分幾何の言葉で語ろう
谷村省吾 著
2019年6月25日 初版発行
集合と写像
数学的に考えることのできるものの集まりを集合という。
ラッセルのパラドクス
- 集合 について が成り立つならば、 は第 1 種の集合だという。
- 集合 について が成り立つならば、 は第 2 種の集合だという。
どんな集合も第 1 種か第 2 種かのどちらかである。
「 第 2 種の集合全体の集合」と定める。
このとき となり矛盾する。
パラドクスを避けるために、集合の全体を集合とは認めないことにする。
ベクトル空間と双対空間
ベクトル空間の枠と変換則
抽象ベクトル空間と数ベクトル空間とを関係づける方法を考える。
一般に 個のベクトルの組 は線形写像 を定める。
写像 が線形同型写像になっていれば、 をベクトル空間 の枠という。
作用素の行列表示
- 次元ベクトル空間 の枠
- 次元ベクトル空間 の枠
- の逆写像
- の逆写像
任意の線型作用素 に対して線形写像
が一意的に存在する。
枠の変換
ベクトル空間 の 2 つの枠 と があれば、任意のベクトル を 2 通りのやり方で展開できる。
- 枠 に伴う線形同型写像
- 枠 に伴う線形同型写像
以下の線型写像は枠 での成分表示を枠 での成分表示に変換する。
枠・枠変換と関手・自然変換
ベクトル空間の枠と枠変換は、ベクトル空間の圏における共変関手と自然変換になっている。
- ベクトル空間の圏 の対象は有限次元ベクトル空間である。
- 枠は各ベクトル空間 に表示空間 を与える。
- 枠は の射である作用素 に表示行列 を与える。
枠写像 は共変関手の条件を満たす:
- 恒等作用素 の表現行列 は の恒等作用素になる。
枠変換 は自然変換の条件を満たす: