圏

モノイド
- データー：
  - 空でない集合 ${G}$
  - 写像 ${\mu: G \times G \to G}$ , ${\mu(x,y) =: xy \,(x,y \in G)}$
  - ${G}$ の元 ${1}$
- 公理：
  - ${(xy)z = x(yz) \,(x,y,z \in G)}$
  - ${x1 = x = 1x \,(x \in G)}$
群
- データー：
  - モノイド ${(G,\mu,1)}$
  - 写像 ${\iota: G \to G,\, \iota(x) =: x^{-1} \,(x \in G)}$
- 公理：
  - ${x^{-1}x = 1 = xx^{-1} \,(x \in G)}$
クイバー
- 集合 ${Q_0,Q_1}$
- 写像 ${s,t: Q_1 \to Q_0}$
- ${Q(x,\ast) := \{\alpha \in Q_1 \,\vert\, s(\alpha) = x\}}$
- ${Q(\ast,y) := \{\alpha \in Q_1 \,\vert\, t(\alpha) = y\}}$
- ${Q(x,y) := Q(x,\ast) \cap Q(\ast,y)}$
- データー：
  - 集合 ${Q_0}$
  - 集合族 ${(Q(x,y))_{x,y \in Q_0}}$
- 公理：
  - ${(x,y) \neq (x^{\prime},y^{\prime}) \Rightarrow Q(x,y) \cap Q(x^{\prime},y^{\prime}) = \emptyset \, (x,y,x^{\prime},y^{\prime} \in Q_0)}$
圏
- データー：
  - クイバー ${\mathscr{C} := (\mathscr{C}_0,\mathscr{C}_1,\mathrm{dom},\mathrm{cod})}$
  - 写像の族 ${\circ := (\circ_{x,y,z}: \mathscr{C}(y,z) \times \mathscr{C}(x,y) \to \mathscr{C}(x,z))_{(x,y,z) \in \mathscr{C}_0 \times \mathscr{C}_0 \times \mathscr{C}_0}}$
  - ${\mathscr{C}_1}$ の元の族 ${\mathbb{1} := (\mathbb{1}_x)_{x \in \mathscr{C}_0},\, \mathbb{1}_x \in \mathscr{C}(x,x)}$
- 公理：
  - （結合律） ${(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)}$ ${(x,y,z,w \in \mathscr{C}_0, \,(h,g,f) \in \mathscr{C}(z,w) \times \mathscr{C}(y,z) \times \mathscr{C}(x,y))}$
  - （単位律） ${f \circ \mathbb{1}_x = f = \mathbb{1}_y \circ f}$ ${(x,y \in \mathscr{C}_0,\, f \in \mathscr{C}(x,y))}$
モノイド準同型
- 公理：
  - ${f(1) = 1}$
  - ${f(ab) = f(a)f(b) \,(a,b \in G)}$
クイバー射
- データー：
  - 写像 ${f_0: Q_0 \to Q_0^{\prime}}$
  - 写像 ${f_1: Q_1 \to Q_1^{\prime}}$
- 公理：
  - ${Q}$ で ${\alpha: x \to y}$ ならば、 ${Q^{\prime}}$ で ${f_1(\alpha): f_0(x) \to f_0(y)}$
関手
- 公理：
  - ${F(\mathbb{1}_x) = \mathbb{1}_{F(x)} \,(x \in \mathscr{C}_0)}$
  - ${F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)}$ ${((g,f) \in \mathscr{C}(y,z) \times \mathscr{C}(x,y), \,x,y \in \mathscr{C}_0)}$
多元環
- 公理：
  - ${A}$ はベクトル空間である
  - ${\mu: A \times A \to A}$ は双線形である
線形圏
- 公理
  - ${\mathscr{C}(x,y)}$ はベクトル空間である ${(x,y \in \mathscr{C}_0)}$
  - ${\circ_{x,y,z}: \mathscr{C}(y,z) \times \mathscr{C}(x,y) \to \mathscr{C}(x,z)}$ は双線形である ${(x,y,z \in \mathscr{C}_0)}$