物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

有限体と符合理論

SGCライブラリ - 5

有限体と符合理論

Mathematical Introduction to Error-Correcting Codes

内田興二 著

2000年1月10日 初版発行

体と線形代数

要素が有限個である体を有限体という。

  • 要素が  {q} 個である有限体を  {\mathbf{F}_q} と表す。
  • 素数  {p} に対して  {\mathbf{F}_p = \{\mathbf{0},\mathbf{1},\dots,\mathbf{p - 1}\}}

有限体

 {\mathbf{F}} において、 {n\,1 = 0} となる自然数  {n} が存在するとき、そのような  {n} の最小の数  {p} を体  {\mathbf{F}} の標数という。

  • 標数は素数である。
  • そのような自然数が存在しないとき、体  {\mathbf{F}} の標数は  {0} である。

 {\mathbf{F}} の標数が  {p \,(\neq 0)} とすると、 {p} 個の元からなる部分集合  {\mathbf{F}_p = \{0,1,2\cdot 1,\dots,(p - 1)\cdot 1\}} は有限体を作る。

 {\mathbf{F}_p} を標数  {p} の素体という。

誤り訂正符号

符号の限界式

拡大体の符号と部分体の符号