物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

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デリバティブの数理

経済学

SGCライブラリ - 6

デリバティブの数理

ブラック・ショールズ式　金融工学・統計的データ分析

三浦良造　著

2000年2月25日　初版発行

ブラック・ショールズのオプション価格式

コール・オプション：

{T} 時点での株価 {S_T} が権利行使価格 {K} を越えていれば越えた分 {(S_T - K)} を受け取り、越えなければ何ももらえないという権利を証券にしたもの。

株価指数変動モデル

株価指数 {S_t} の変動は以下の確率微分方程式によって表されると仮定する：

{dS_t = \mu \cdot S_t \cdot dt + \sigma \cdot S_t \cdot dW_t}

  • {S_T = S_t \cdot e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)(T - t) + \sigma(W_T - W_t)}}
  • {0 \le t \lt T}
  • ウィーナー過程： {W_t}

リスクレス・ポートフォリオ

金融市場の金利 {r} が一定であると仮定する。

{2} つの証券 {C(S_t,t),\,F(S_t,t)} の価格式：

  • {\displaystyle \frac{dC}{C} = \mu_C \cdot dt + \sigma_C \cdot dW_t}
  • {\displaystyle \frac{dF}{F} = \mu_F \cdot dt + \sigma_F \cdot dW_t}

{C,\,F} を組み合わせて買ってポートフォリオを作る。

  • 購入総額： {\Pi}
  • {C} を買う金額： {w_C\Pi}
  • {F} を買う金額： {w_F\Pi}
  • {w_C + w_F = 1}
  • {w_C} あるいは {w_F} が負の場合：空売り

{\displaystyle \Pi = \frac{w_C \cdot \Pi}{C} \cdot C + \frac{w_F \cdot \Pi}{F} \cdot F}

{\displaystyle \frac{d\Pi}{\Pi} = \frac{1}{\Pi}\left(\frac{w_C \cdot \Pi}{C} \cdot dC + \frac{w_F \cdot \Pi}{\Pi} \cdot dF\right) = w_C\frac{dC}{C} + w_F\frac{dF}{F}}

{w_C \cdot \sigma_C + w_F \cdot \sigma_F = 0} となるような {w_C} と {w_F} を選ぶ：

  • {\displaystyle w_C^{\ast} = \frac{\sigma_F}{\sigma_F - \sigma_C}}
  • {\displaystyle w_F^{\ast} = \frac{-\sigma_C}{\sigma_F - \sigma_C}}

リスクレス・ポートフォリオ： {\Pi^{\ast}}

{\displaystyle \frac{d\Pi}{\Pi} = (w_C \cdot \mu_C + w_F \cdot \mu_C)dt}

ノー・アービトラージュ

金額 {\Pi^{\ast}} の資金を金利 {r} で借りてポートフォリオ {\Pi^{\ast}} を作れば、 {dt} 時間後に借金 {r \cdot \Pi^{\ast} \cdot dt} を返しても差額 {(w_C^{\ast} \cdot \mu_C + w_F^{\ast} \cdot \mu_F - r) \cdot \Pi^{\ast} \cdot dt)} が残る。

ノー・アービトラージュの仮定：

{w_C^{\ast} \cdot \mu_C + w_F^{\ast} \cdot \mu_F = r}

シャープの測度 {\lambda}：リスク単位当りの期待超過投資収益率

{\displaystyle \frac{\mu - r}{\sigma} = \lambda}

デリバティブの価格式：

{\displaystyle \frac{\partial C}{\partial t} + r \cdot S_t \cdot \frac{\partial C}{\partial S_t} + \frac{1}{2}\sigma^2 \cdot S_t^2 \frac{\partial^2C}{\partial S_t^2} - rC = 0}

オプション価格式

{C(S_t,t) = E[g(X_t)e^{-r(T - t)} \,|\, X_t = S_t\}}

  • {C(S_t,T) = g(S_T)}
  • {dX_t = r \cdot X_t \cdot dt + \sigma \cdot X_t \cdot dV_t}
  • {V_t}：ウィーナー過程
  • {g(S_T) = \max\{S_T - K,0\}}

ブラック・ショールズのコール・オプション価格式

{C(S_t,t) = S_tN(h_t) - K \cdot e^{-r(T - t)}N(h_t - \sigma\sqrt{T - t})}

エキゾチックス

マルチンゲール流のデリバティブ価格理論

金融機関の市場リスク計測

平均・分散アプローチ

金融時系列データ解析と数理モデルの発展