物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

差分方程式講義

力学系

SGCライブラリ - 8

差分方程式講義

連続より離散へ

広田良吾　著

2000年10月25日　初版発行

離散空間での関数

差分演算子：

前進差分： $\Delta_{+x}f(x) = \frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon}$
中心差分： $\Delta_xf(x) = \frac{f(x + \epsilon/2) - f(x - \epsilon/2)}{\epsilon}$
後退差分： $\Delta_{-x}f(x) = \frac{f(x) - f(x - \epsilon)}{\epsilon}$

平均化演算子：

$M_{+x}f(x) = \frac{f(x + \epsilon)}{2}$
$M_xf(x) = \frac{f(x + \epsilon/2) + f(x - \epsilon/2)}{2}$
$M_{-x}f(x) = \frac{f(x) + f(x - \epsilon)}{2}$

${n}$ 次下降べき：

${n \gt 0}$ のとき： $x^{\underline{n}} = \prod_{s=1}^n\{x - (s - 1)\epsilon\}$
${n = 0}$ のとき： $x^{\underline{n}} = 1$
${n \lt 0}$ のとき： $x^{\underline{n}} = \prod_{s=1}^{|n|}\frac{1}{(x + s\epsilon)}$

${n}$ 次平均べき：

${n \gt 0}$ のとき： $x^{( (n) )} = \prod_{s=1}^n\left\{x - \left(\frac{n + 1}{2} - s\right)\epsilon\right\}$
${n = 0}$ のとき： $x^{( (n) )} = 1$
${n \lt 0}$ のとき： $x^{( (n) )} = \frac{1}{x^{( (|n|) )}}$

${n}$ 次上昇べき：

${n \gt 0}$ のとき： $x^{\overline{n}} = \prod_{s=1}^n\{x + (s - 1)\epsilon\}$
${n = 0}$ のとき： $x^{\overline{n}} = 1$
${n \lt 0}$ のとき： $x^{\overline{n}} = \prod_{s=1}^{|n|}\frac{1}{(x - s\epsilon)}$

差分公式：

${\Delta_{+x}x^{\underline{n}} = nx^{\underline{n-1}}}$
${\Delta_xx^{( (n) )} = nx^{( (n - 1) )}}$
${\Delta_{-x}x^{\overline{n}} = nx^{\overline{n-1}}}$

三角関数：

${\sin q\langle x\rangle = \sin\theta x}$
${\cos q\langle x\rangle = \cos\theta x}$
${q\epsilon/2 = \tan(\epsilon\theta/2)}$
${\sin^2 q\langle x\rangle + \cos^2 q\langle x\rangle = 1}$

常微分方程式の差分化

非線形偏微分方程式の差分化