物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

計算物理入門

計算科学

SGCライブラリ - 10

計算物理入門

分子シミュレーションを中心に

上田顯　著

2001年9月25日　初版発行

一様乱数の発生法

計算機で擬似乱数を発生させる。

線形合同法

${I_n = aI_{n-1} + c \pmod M}$

${M}$ が素数の場合：

フェルマーの小定理

${p}$ を素数とし、 ${T^{\ast}}$ は ${0}$ を除いた ${(p - 1)}$ 個の元 ${\{1,2,3,\dots,p-1\}}$ から成る集合とする。

${T^{\ast}}$ の任意の元 ${a}$ に対して以下が成り立つ：

${a^{p - 1} = 1 \pmod p}$

${T^{\ast}}$ の元の中には、 ${a^k \pmod p}$ （ ${k = 1,2,\dots,p-1}$ ）によってすべての元を生成できる元 ${a}$ が必ず存在する。

元 ${a}$ を法 ${p}$ のもとでの原始根と呼ぶ。
${T^{\ast}}$ は巡回群で、 ${a}$ はその生成元である。

${P}$ を素数とし、 ${a}$ を法 ${P}$ の原始根とすると、以下で生成される整数列 ${\{I_n\}}$ の周期は ${(P - 1)}$ で与えられる：

${I_n = a^nI_0 \pmod P}$

${M = 2^r}$ （ ${r \ge 4}$ ）の場合：

${I_k = a^kI_0 \pmod {2^r}}$

で生成される整数列 ${\{I_k\}}$ の最長周期は ${2^{r - 2} = 2^r/4}$ で与えられる。

最長周期が実現される必要十分条件は、初期値 ${I_0}$ が素数であることと、定数 ${a}$ が以下をみたすことである：

${a = 3}$ または ${5 \pmod 8}$

M 系列法

周期の長い ${2}$ 進数列を生成し、その中からある規則で ${32}$ ビットずつ抽出して ${10}$ 進の乱数を作り出す。

初期値（種）として、 ${p}$ 個の ${a_0,a_1,\dots,a_{p-1}}$ を、すべてが ${0}$ にならないように、任意に ${0}$ または ${1}$ に選ぶ。

${n \ge p}$ として、 ${a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots}$ を次の漸化式で構成していく：

${a_n = c_1a_{n - 1} + c_2a_{n - 2} + c_3a_{n - 3} + \cdots + c_pa_{n - p} \pmod 2}$

${p}$ および ${c_1,c_2,\dots,c_p}$ は以下の多項式 ${f(x)}$ が原始多項式となるように選ぶ：

${f(x) = 1 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_px^p \pmod 2}$
${c_p = 1}$

原始多項式： ${p}$ 次より低い次数の多項式の積に因数分解されない多項式

与えられた分布に従う乱数の発生法

ランダム・ウォーク

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分子シミュレーションとモンテカルロ法

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