場の量子論事始め

調和振動子

ハイゼンベルグの運動方程式：

$i\hbar\frac{dA(P,Q)}{dt} = [A(P,Q),H]$

調和振動子の Hamiltonian：

$H = \frac{P^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}Q^2 = \frac{\hbar\omega}{2}(a^{\dagger}a + aa^{\dagger}) \equiv \frac{\hbar\omega}{2}\{a^{\dagger}a\}$

消滅演算子： $a \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(Q + i\frac{P}{m\omega}\right)$
生成演算子： $a^{\dagger} \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(Q - i\frac{P}{m\omega}\right)$
${[a,a^{\dagger}] = 1}$
${[a,a] = [a^{\dagger},a^{\dagger}] = 0}$

特殊相対性理論

ミンコフスキー空間：

${ds^2 \equiv g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} = (cdt)^2 - (dx)^2 - (dy)^2 - (dz)^2}$

ローレンツ変換：

${dx^{\prime\mu} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}dx^{\nu}}$

${g_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\Lambda^{\nu}{}_{\beta} = g_{\alpha\beta}}$
${\Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\Lambda_{\mu}{}^{\beta} = \delta_{\alpha}^{\beta}}$
${\Lambda_{\mu}{}^{\beta} \equiv g_{\mu\nu}\Lambda^{\nu}{}_{\alpha}g^{\alpha\beta}}$