物理ノート

サイエンス社「数理科学」SGCライブラリの読書メモ

基礎からの力学系

力学系

SGCライブラリ - 17

基礎からの力学系

分岐解析からカオス的遍歴へ

小室元政　著

2002年9月25日　初版発行

力学系の定義

連続時間力学系：

自律系：
- ベクトル場 ${f: \mathbf{x} \mapsto f(\mathbf{x})}$
- 解曲線 ${\mathbf{x}: I \to \mathbb{R}^n}$
- ベクトル場の流れ
  - ${\mathbb{R}^n}$ の領域 ${D}$
  - ${\varphi(0,\mathbf{x}_0) = \mathbf{x}_0}$
  - $d\varphi(t,\mathbf{x}_0)/dt = f(\varphi(t,\mathbf{x}_0))$
非自律系：
- ベクトル場 ${(t,\mathbf{x}) \mapsto (1,g(t,\mathbf{x}))}$
- 解曲線 ${\mathbf{x}: I \to \mathbb{R}^n}$
- ベクトル場の流れ
  - ${\varphi(t_0,t_0,\mathbf{x}_0) = \mathbf{x}_0}$
  - ${d\varphi(t,t_0,\mathbf{x}_0)/dt = g(t,\varphi(t,t_0,\mathbf{x}_0))}$

離散時間力学系：

${\mathbf{x}(t + 1) = f(\mathbf{x}(t))}$

自律系のポアンカレ写像

${3}$ 次元空間の自律系ベクトル場を考える：

$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = f(\mathbf{x})$

${\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3}$
ベクトル場の周期軌道 ${\Gamma}$
${\Gamma}$ と ${1}$ 点 ${\mathbf{p}}$ で横断的に交わる ${2}$ 次元平面 ${\Sigma}$
ベクトル場の流れ ${\varphi}$
${\Sigma}$ における ${\mathbf{p}}$ の近傍 ${U}$

${\mathbf{q} \in U}$ に対して、 ${\mathbf{q}^{\prime} \in \Sigma}$ を以下で定義する：

${\mathbf{q}^{\prime} = \varphi(T,\mathbf{q})}$
${T = \min\{t \gt 0 \,|\, \varphi(t,\mathbf{q}) \in \Sigma\}}$
ポアンカレ写像： ${P: U \ni \mathbf{q} \mapsto \mathbf{q}^{\prime} \in \Sigma}$
ポアンカレ断面： ${\Sigma}$

${\mathbf{p}}$ に十分近い ${\Sigma}$ 上の点 ${\mathbf{q}}$ は、流れ ${\varphi}$ に沿って動くとき、再び ${\Sigma}$ に帰ってきて ${\mathbf{p}}$ の近くの点 ${\mathbf{q}^{\prime}}$ を打つ。

非自律系のポアンカレ写像

時間に関して周期 ${T}$ の周期性を持つ ${2}$ 次元の非自律系ベクトル場を考える：

$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = g(t,\mathbf{x})$
${\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2}$
${g(t,\mathbf{x}) = g(t + T,\mathbf{x})}$
ベクトル場の流れ ${\varphi: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2}$

ポアンカレ写像（ストロボ写像）：

${P: \mathbb{R}^2 \ni \mathbf{x} \mapsto \varphi(T,0,\mathbf{x}) \in \mathbb{R}^2}$

いろいろな力学系

線形ベクトル場

線形写像

ベクトル場の平衡点の分岐

写像の周期点、及びベクトル場の周期軌道の分岐

１次元写像のアトラクタの分岐

２次元写像のアトラクタの分岐

３次元ベクトル場のアトラクタの分岐

区分線形力学系

大域結合写像におけるカオス的遍歴の発生機構