多様体の基本事項

${E}$ が ${M}$ 上の階数 ${r}$ のベクトル束であるとは次の条件をみたすときをいう：

${E}$ は ${n + r}$ 次元多様体である。
${\pi: E \to M}$ は全射な可微分写像である。
の開被覆と微分同相写像が存在し
- ${p_{\lambda}: U_{\lambda} \times \mathbb{R}^r \to U_{\lambda}}$ を射影とすると ${\pi = p_{\lambda} \circ \varphi_{\lambda}}$ が成り立つ。
- のときは以下のように表される：
  - ${\varphi_{\lambda} \circ \varphi_{\mu}^{-1}(p,\mathbf{x}) = (p,\varphi_{\lambda\mu}(p)\mathbf{x})}$
  - ${\varphi_{\lambda\mu}:U_{\lambda} \cap U_{\mu} \to GL(r,\mathbb{R})}$

${M}$ の点 ${p}$ における接空間 ${T_p(M)}$ ： ${p}$ における微分の全体のなすベクトル空間

接空間
- ${T_p(M)}$ の基底： $\left(\frac{\partial}{\partial x^1}\right)_p,\dots,\left(\frac{\partial}{\partial x^n}\right)_p$
- 接ベクトル束： ${TM = \cup_{p \in M}T_p(M)}$ は階数 ${n}$ のベクトル束になる。
余接空間
- ${T_p^{\ast}(M)}$ の双対基底： $(dx^1)_p,\dots,(dx^n)_p$
- 余接ベクトル束： ${T^{\ast}M = \cup_{p \in M}T^{\ast}_p(M)}$ は階数 ${n}$ のベクトル束になる。

${p}$ 次微分形式 ${\alpha \in \Omega^p}$ に対し ${p + 1}$ 次微分形式 ${d\alpha}$ が次のようにして定まる：

$\alpha = \sum_{i_1,\dots,i_p = 1}^n\alpha_{i_1\dots i_p}dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p}$
$d\alpha = \sum_{j,i_1,\dots,i_p = 1}^n\frac{\partial\alpha_{i_1\dots i_p}}{\partial x^j}dx^j \wedge dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p}$
${d \circ d = 0}$

${M}$ の ${p}$ 次元ド・ラームコホモロジー群：

${H_d^p(M) = Z^p(M)/B^p(M)}$

${Z^p(M) = \{\omega \in \Omega^p(M) \,|\, d\omega = 0\}}$
${B^p(M) = \{\omega \in \Omega^p(M) \,|\, \omega = d\alpha,\,\exists\alpha \in \Omega^{p - 1}(M)\}}$