物理ノート

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ガロア理論

数学

SGCライブラリ - 27

ガロア理論

その標準的な入門

中野伸　著

2003年9月25日　初版発行

可換環

可換環

空でない集合 {R} の任意の 2 元 {a,b} に対して、和 {a + b} および積 {ab} が {R} の元として定まっていて以下の性質をみたすとき、 {R} を可換環という。

  • 任意の {a,b,c \in R} に対して、以下の等式が成り立つ。
    • {a + b = b+ a}
    • {(a + b) + c = a + (b + c)}
    • {ab = ba}
    • {(ab)c = a(bc)}
    • {a(b + c) = ab + ac}
  • 次をみたす {R} の特別な元 0 が存在する。
    • 任意の {a \in R} に対して {a + 0 = a} が成り立つ。
    • 任意の {a \in R} に対して {a + \bar{a} = 0} なる {\bar{a} \in R} が存在する。
  • 次をみたす {R} の特別な元 1 が存在する。
    • 任意の {a \in R} に対して {a1 = a} が成り立つ。

可換環 {R} の元 {a,b} に対して、 {ax = b} なる {x \in R} が存在するとき、 {b} は {a} の倍数、または {a} は {b} の約数であるという。

{1} の約数を単数という。

可換環 {R} の単数全体の集合は乗法について群をなす。（ {R} の単数群 {R^{\times}}）

0 でない元を掛けて 0 となってしまう元を零因子という。

0 以外に零因子をもたない零環でない可換環を整域という。

イデアル

可換環 {R} の空でない部分集合 {I} は、以下をみたすとき {R} のイデアルという：

  • 任意の {a,b \in I} に対して {a - b \in I}
  • 任意の {a \in I} および {x \in R} に対して {ax \in I}

イデアルの例： {R} の一つの元 {a} の倍数全体の集合

{aR = \{ax \,|\, x \in R\}}

準同型写像 {\varphi: R \to S} の核 {\mathrm{Ker}\,\varphi} は {R} のイデアルとなる。

準同型定理

{R,\,S} を可換環、 {\varphi: R \to S} を準同型写像とすると、 {R\,/\mathrm{Ker}\,\varphi} と {\mathrm{Im}\,\varphi} は同型となる： {R\,/\mathrm{Ker}\,\varphi \cong \mathrm{Im}\,\varphi}

可換環 {R} の空でない部分集合 {A} が与えられると、 {A} を含む {R} のイデアルのうち最小のものは {c_1x_1 + \cdots + c_mx_m} {(c_1,\dots,c_m \in A,\,x_1,\dots,x_m \in R,\, m \in \mathbf{N})} なる形の有限和全体の集合として与えられる。

これを {A} によって生成される {R} のイデアルという。

  • {a_1,\dots,a_n} で生成されるイデアル： {(a_1,\dots,a_n)}
  • 単項イデアル： {(a)}

多項式環

可換環 {R} の元と記号 {X} のべきとの形式的な積 {cX^i} {(c \in R,\,i \in \mathbf{Z},\, i \ge 0)} を {R} 上の単項式といい、単項式の形式的な有限和を {R} 上の多項式という。

{R} 上の多項式全体の集合を {R[X]} で表す。

{R[X]} の元 {f(X)} は {R} の元 {c_0,c_1,\dots,c_n} を用いて次の形に一意的に表される。

{\displaystyle f(X) = \sum_{i=0}^nc_iX^i = c_nX^n + c_{n-1}X^{n-1} + \cdots + c_1X + c_0}

{f(X) \in R[X]} について、係数が 0 でない項の最大の次数を {f(X)} の次数といい {\deg f(X)} で表す。

標数

整域 {R} に対して、写像 {C_R: \mathbf{Z} \to R} を以下で定める：

  • {C_R(0) = 0}
  • {C_R(n) = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n}\quad (n \gt 0)}
  • {C_R(n) = -C_R(-n)\quad (n \lt 0)}

{\mathrm{Ker}\,C_R = p\mathbf{Z}}（ {p \ge 0}）なる {p \in \mathbf{Z}} を整域 {R} の標数といい {\mathrm{ch}.R} で表す。

代数拡大

{K, L} が体で {K \subset L} なるとき、 {L} は {K} の拡大体であるといい拡大 {L\,/K} と書く。

拡大 {L\,/K} に対して、 {K} 上のベクトル空間としての {L} の次元を {L\,/K} の次数といい {[L:K]} で表す。

代数的元

{K} を体とし、 {\alpha} を {K} のある拡大体 {\Omega} の元とする。

可換環の準同型写像 {\varphi_{\alpha}} を考える。

{\varphi_{\alpha}: K[X] \to \Omega,\quad f(X) \mapsto f(\alpha)}

{\mathrm{Im}\,\varphi_{\alpha} = K[\alpha]} であるから準同型定理より、同型 {K[X]\,/\mathrm{Ker}\,\varphi_{\alpha} \cong K[\alpha]} が引き起こされる。

以下では核 {\mathrm{Ker}\,\varphi_{\alpha}} を {Z(\alpha,K)} と書く。

{Z(\alpha,K) = \mathrm{Ker}\,\varphi_{\alpha} = \{f(x) \in K[X]\,|\,f(\alpha) = 0\}}

  • {Z(\alpha,K) \neq (0)} が成り立つとき、 {\alpha} は {K} 上代数的であるという。
  • {Z(\alpha,K) = (0)} が成り立つとき、 {\alpha} は {K} 上超越的であるという。

{\alpha} が {K} 上代数的であるとき、多項式 {f(X) (\neq 0) \in Z(\alpha,K)} に対して次は同値である。

  • {f(X)} は {K} 上既約である。
  • {[K(\alpha):K] = \deg f(X)} が成り立つ。
  • {f(X)} の次数は最小である。すなわち、 {g(X) (\neq 0) \in Z(\alpha,K)} ならば {\deg f(X) \le \deg g(X)} となる。
  • {Z(\alpha,K) = (f(X))}。すなわち、 {f(X)} はイデアル {Z(\alpha,K)} の生成元である。

共役写像

ガロア対応

可解性